הלמה של צורן

הלמה של צורן (Zorn's lemma) במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, היא משפט שימושי העוסק בתכונה של קבוצות סדורות חלקית. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול לאקסיומת הבחירה, ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכיח שלכל מרחב וקטורי יש בסיס, שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי, שלכל שדה יש סגור אלגברי, וכן להוכחת משפט טיכונוף בטופולוגיה, להוכחת גרסה אינסופית של משפט החתונה בקומבינטוריקה, ושימושים רבים נוספים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי מקס צורן, שהשתמש בעקרון דומה ב-1935 כדי להוכיח טענה באלגברה. קדמו לו בניסוח עקרונות מקסימום הנובעים מאקסיומת הבחירה ועקרון הסדר הטוב - פליקס האוסדורף ב-1907, קזימירייז קורטובסקי ב-1922 ו-רוברט לי מור ב-1932.

ניסוח

תהא $\!\,(A,\leq )$ קבוצה סדורה חלקית לא ריקה. אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל-A שהצמצום של $\leq$ אליה הוא יחס סדר ליניארי) קיים חסם מלעיל ב-A, אז ב-A יש איבר מקסימלי.

הוכחת הלמה מעקרון המקסימום של האוסדורף

לפי עקרון המקסימום של האוסדורף (השקול לאקסיומת הבחירה) קיימת ב-A שרשרת מקסימלית C. יהי a חסם מלעיל של C. נוכיח כי a מקסימלי ב-A: נניח בשלילה ש-a איננו מקסימלי. לכן, קיים $\ b\in A$ כך ש-$\ a<b$. מהיותו של a חסם מלעיל של C אנו מקבלים כי לכל $\ c\in C$ מתקיים $\ c\leq a$. מכאן, לכל $\ c\in C$ מתקיים $\ c<b$ ולכן $\ b\not \in C$. נתבונן בקבוצה $\ C\cup \left\{b\right\}$. הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-$\ b\not \in C$ אז אנו מקבלים ש-$\ C\subset C\cup \left\{b\right\}$, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-C וזאת בסתירה לכך ש-C היא שרשרת מקסימלית ב-A.

דוגמה לשימוש בלמה של צורן

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים אידיאל מקסימלי. יהי R חוג עם יחידה, ותהי P קבוצת כל האידיאלים האמיתיים בR (כלומר, האידיאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה. P אינה ריקה שכן אידיאל האפס שייך לP.

תהי C שרשרת ב-P. האיחוד U של כל האידיאלים בשרשרת הוא אידיאל (הוא סגור לכפל באיבר r של החוג משום שכל איבר x בתוכו שייך לאידיאל בשרשרת, המכיל גם את המכפלות rx ו-xr, וסגור לחיבור משום שאם x,y באיחוד אז יש אידיאלים $\ S,T\in C$ כך ש-$\ x\in S$ ו-$\ y\in T$; אבל C שרשרת ולכן אפשר להניח ש-$\ S\subseteq T$, ואז $\ x+y\in T$ מכיוון ש-T סגור לחיבור). כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידיאל בשרשרת (משום שכולם אידיאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידיאל אמיתי.

לפי הלמה של צורן, יש ב-P איבר מקסימלי, שהוא אידיאל מקסימלי של החוג. הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידיאל מקסימלי (לדוגמה, בחוג הפולינומים השבריים $\ R_{0}=\sum _{\alpha >0}Fx^{\alpha }$ אין אידיאל מקסימלי; $\ R_{0}$ עצמו הוא האידיאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, $\ \sum _{\alpha \geq 0}Fx^{\alpha }$).

קישורים חיצוניים

• הלמה של צורן, באתר MathWorld (באנגלית)
• הלמה של צורן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)