התפלגות גאמבל

התפלגות גאמבל

פונקציית צפיפות ההסתברות
px
פונקציית ההסתברות המצטברת
px
מאפיינים
פרמטרים	$\mu$, פרמטר מיקום (ממשי) $\beta >0$, פרמטר סקאלה (ממשי)
תומך	$x\in \mathbb {R}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}$ כאשר $z={\frac {x-\mu }{\beta }}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}$
תוחלת	$\mu +\beta \gamma$ כאשר $\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני
חציון	$\mu -\beta \ln(\ln 2)$
ערך שכיח	$\mu$
שונות	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}$
אנטרופיה	$\ln(\beta )+\gamma +1$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}$
פונקציה אופיינית	$\Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}$
צידוד	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14$
גבנוניות	${\frac {12}{5}}$

בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה התפלגות גאמבל משמשת כמודל הסתברותי של ערכי קיצון (מקסימום או מינימום) של מספר דגימות של התפלגויות.

ניתן להשתמש בהתפלגות כמודל הסתברותי של הערך המקסימלי של הזרימה בנהר בשנה מסוימת בהינתן ערכי המקסימום בעשר השנים האחרונות או לאומדן הסיכון לרעידת אדמה קיצונית, שיטפון או אסון טבע אחר. היישום של התפלגות גאמבל לייצוג התפלגות ערכי מקסימום קשור לתאוריית ערכים קיצוניים.

התפלגות גאמבל היא מקרה פרטי של התפלגות הערכים הקיצונית המוכללת (הידועה גם בשם התפלגות פישר-טיפט). היא ידועה גם בשם התפלגות לוג-ווייבול והתפלגות מעריכית כפולה (מונח שמשמש לפעמים במקום התפלגות לפלס).

התפלגות גאמבל נקראת על שמו של אמיל יוליוס גאמבל (1891 – 1966).

הגדרות

פונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות גאמבל היא

$f(x;\mu ,\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}$ כאשר סימנו $z={\frac {x-\mu }{\beta }}$ ,

ופונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}\,$

התפלגות גאמבל סטנדרטית

התפלגות גאמבל סטנדרטית מוגדרת כהתפלגות גאמבל עם פרמטרים $\mu =0$ ו $\beta =1$, כלומר פונקציית צפיפות הסתברות שלה היא

$f(x)=e^{-(x+e^{-x})}$

ופונקציית ההתפלגות המצטברת

$F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,$ .

במקרה זה השכיח הוא 0, החציון הוא $-\ln(\ln(2))\approx 0.3665$, הממוצע הוא $\gamma \approx 0.5772$ ( קבוע אוילר-מסקרוני), וסטיית התקן היא $\pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825$ .

תכונות

• השכיח הוא μ, החציון הוא $\mu -\beta \ln \left(\ln 2\right)$ והתוחלת נתונה על ידי $\operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta$, כאשר $\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
• סטיית התקן $\sigma$ היא $\beta \pi /{\sqrt {6}}$ כלומר $\beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma$ .
• בנקודת השכיח, $x=\mu$, הערך של $F(x;\mu ,\beta )$ הוא $e^{-1}\approx 0.37$, ללא קשר לערך של $\beta$ .
• אִם $G_{1},...,G_{k}$ הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות המתפלגים גאמבל עם פרמטרים $(\mu ,\beta )$ אז $\max\{G_{1},...,G_{k}\}$ הוא משתנה מקרי המתפלג גאמבל עם פרמטרים $(\mu +\beta \ln k,\beta )$ .
• אִם $G_{1},G_{2},...$ הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות כך שלמשתנה $\max\{G_{1},...,G_{k}\}-\beta \ln k$ יש אותה התפלגות כמו $G_{1}$ לכל המספרים הטבעיים $k$, אז $G_{1}$ מתפלג גאמבל עם פרמטר קנה מידה $\beta$ .

התפלגויות קשורות

• אִם $X$ מתפלג גאמבל, אזי ההתפלגות המותנית של Y = − X בהינתן ש- Y חיובי, או לחלופין בהינתן ש- X שלילי, יש התפלגות גומפרץ. פונקציית ההתפלגות המצטברת, G, של Y קשורה לפונקציית ההתפלגות המצטברת, F, של X, על ידי הנוסחה $G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)$ עבור y > 0. כתוצאה מכך, הצפיפויות קשורות זו לזו על ידי $g(y)=f(-y)/F(0)$ : צפיפות גומפרץ פרופורציונלית לתמונת הראי של פונקציית צפיפות התפלגות של גומבל המוגבלת לחצי הישר הממשי החיובי.
• אם X הוא משתנה מקרי מתפלג מעריכית עם תוחלת 1, אז log( X ) מתפלג התפלגות גאמבל סטנדרטית.
• אִם $X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )$ ו $Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )$ והם בלתי תלויים אז להפרש שלהם התפלגות לוגיסטית $X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,$.

יישום

התאמת חלוקה עם רצועת ביטחון של חלוקת Gumbel מצטברת למקסימום גשמים של יום אחד באוקטובר.

גאמבל הראה שהערך המקסימלי במדגם של משתנים מקריים המתפלגים התפלגות מעריכית בחיסור של הלוגריתם הטבעי של גודל המדגם שואף להתפלגות גאמבל ככל שגודל המדגם גדל.

באופן קונקרטי, תהי $\rho (x)=e^{-x}$ התפלגות ההסתברות של $x$ ו $Q(x)=1-e^{-x}$ ההתפלגות המצטברת שלו. אז הערך המקסימלי מבין $N$ דגימות של $x$ קטן מ $X$ אם ורק אם כל הדגימות קטנות מ $X$ . אז ההתפלגות המצטברת של הערך המקסימלי ${\tilde {x}}$ מקיים

$P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},$

וכן, לערכי $N$ גדולים, צד הימני מתכנס ל $e^{-e^{(-X)}}$ .

בהידרולוגיה, לפיכך, התפלגות גאמבל משמשת לניתוח משתנים כמו ערכי מקסימום חודשיים ושנתיים של כמות גשם יומית וספיקה של זרימת מים בנהר, וכן לתיאור של בצורות.

גמבל גם הראה שהאומד ^r⁄_(n+1) עבור ההסתברות לאירוע, כאשר r הוא הדירוג של הערך הנצפה בסדרת הנתונים ו- n הוא המספר הכולל של התצפיות, הוא אומד לא מוטה של ההסתברות המצטברת סביב השכיח של ההתפלגות.

התפלגות גאמבל מופיעה גם בבעיית אוסף הקופונים.

פרמטריזציות של התפלגות גאמבל

בלמידת מכונה, לעיתים משתמשים בהתפלגות גאמבל כדי ליצור דוגמאות מההתפלגות הקטגוריאלית.

ספציפית, יהיו $(\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})$ ממשיים אי- שליליים, לא כולם אפס, ותהיינה $g_{1},\ldots ,g_{n}$ דגימות בלתי-תלויות מהתפלגות גאמבל סטנדרטית. על ידי אינטגרציה מתקבל $$Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i}))={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}$$ כלומר, $\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}$

לחלופין בהינתן $x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R}$, נוכל לדגום מהתפלגות בולצמן על ידי$$Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i}))={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}$$ משוואות קשורות כוללות:

• אִם $x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$, אז $(-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)$ .
• $\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}$ .
• $\max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)$ . כלומר, התפלגות גאמבל היא משפחת התפלגויות מקסימלית יציבה.
• $\mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma$

מחולל משתנים מקריים

כיוון שפונקציית השברונים (הפונקציה ההופכית לפונקציית התפלגות מצטברת), $Q(p)$, של התפלגות גאמבל נתונה על ידי

$Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),$

הווריאט $Q(U)$ מתפלג גאמבל עם פרמטרים $\mu$ ו $\beta$ כאשר המשתנה המקרי $U$ נדגם מהתפלגות אחידה רציפה על האינטרוול $(0,1)$ .

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות גאמבל בוויקישיתוף