התפלגות לוגיסטית

התפלגות לוגיסטית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \sigma >0$ ,$-\infty <\mu <\infty$
תומך	$\ \mathbb {R}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!$
תוחלת	$\ \mu$
סטיית תקן	${\frac {\pi }{\sqrt {3}}}s\!$
חציון	$\ \mu$
ערך שכיח	$\ \mu$
שונות	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!$
אנטרופיה	$\ln(s)+2\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!$ עבור $|s\,t|<1\!$, פונקציית בטא
פונקציה אופיינית	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,$ for $|ist|<1\,$
צידוד	$\ 0$
גבנוניות	$\ 6/5$

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית $\ {\frac {1}{1+e^{-x}}}$. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, $\mu$ (התוחלת) ו־$s$. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-$\ \mu$ ומכווצת פי $s$:

$F_{X}(x)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!$

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו:

$f_{X}(x)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})^{2}}}$

למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת $\mu$, ושונות ${\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}}$.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא:

$h(x)={\frac {1}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})}}\!$

שימושים

• בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
• באקולוגיה, משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
• באפידמיולוגיה – לתיאור התפשטות מגפות.
• בפסיכולוגיה – לתיאור תהליכי למידה.
• תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות לוגיסטית בוויקישיתוף

• התפלגות לוגיסטית, באתר MathWorld (באנגלית)