חבורת וייטהד המצומצמת

חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים $\operatorname {SK} _{1}(A)$, המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד $\operatorname {K} _{1}(A)$ המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.

חוגים קומוטטיביים

יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב-$\operatorname {GL} (A)$ את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת $1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1$. חלוקה בחבורת הקומוטטורים $[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]$ מגדירה את הסדרה $1\to \operatorname {SK} _{1}(A)\to \operatorname {K} _{1}(A)\to A^{*}\to 1$, כאשר $\operatorname {K} _{1}(A)=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]$, ו-$\operatorname {SK} _{1}(A)$ הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: $\operatorname {K} _{1}(A)=A^{*}\oplus \operatorname {SK} _{1}(A)$.

אלגברות פשוטות מרכזיות

תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית $N:A^{\times }\rightarrow F^{\times }$ (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-$\operatorname {SL} _{1}(A)$. תת-חבורת הקומוטטורים $A'$ של $A^{\times }$ מוכלת ב-$\operatorname {SL} _{1}(A)$, וחבורת המנה $\operatorname {SL} _{1}(A)/A'$ היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-$\operatorname {SK} _{1}(A)$.

השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס $A_{n}$) סברה ש-$\operatorname {SK} _{1}(A)=1$ פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).

תוצאות כלליות

החבורה $\operatorname {SK} _{1}$ טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את $\operatorname {SK} _{1}(A)$ כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).

תלות בתכונות של שדה הבסיס

$\operatorname {SK} _{1}$ טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש-$\operatorname {SK} _{1}(A)=1$ אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה $C_{2}^{0}$ (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה $C_{2}$ הוא גם $C_{2}^{0}$, אבל לא להפך). מהתכונה $C_{2}^{0}$ נובע ש-$\operatorname {cd} (F)\leq 2$ כאשר $\operatorname {cd} (F)$ הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).

תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז $\operatorname {SK} _{1}(A)=1$.

אם $\operatorname {cd} (F)\leq 3$ אז $\operatorname {SK} _{1}(Q\otimes Q')=1$ לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.

מקורות

• Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).