תת-חבורת הקומוטטורים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Math.svg
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים איפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה שכך שיש תמורה המקיימת כאשר הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקומוטטור של שני איברים בחבורה הוא האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של היא החבורה הנוצרת . את החבורה המתקבלת מסמנים או . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם תת-חבורות נורמליות של , אז היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים עבור ; גם זו תת-חבורה נורמלית הן של הן של .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית של , המנה אבלית אם ורק אם . זהו למעשה איפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה נקראת האבליזציה של .

מכיוון שהומומורפיזם מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: , ולכל n, . בפרט מקצרים וכותבים , וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים , כאשר . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה , או נוסחה מהצורה כאשר הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות (לכל חבורה G), ואלו המקיימות ; והוכיח[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות של , מתקיים .

האורך בחבורת הקומוטטורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher[2] שהאורך של איבר אינו עולה על , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס , עבור . בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.[3]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
  2. ^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6
  3. ^ Liebeck, Martin & A. O’Brien, E & Shalev, Aner & Tiep, Pham. (2010). The Ore conjecture, Journal of The European Mathematical Society - J EUR MATH SOC. 12. 939-1008. 10.4171/JEMS/220.