תת-חבורת פרטיני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף חבורת פרטיני)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, תת-חבורת פרטיני של חבורה נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא נילפוטנטית. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של G ב- או ב-.

איברים לא-יוצרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האיברים הלא-יוצרים של G (איבר הוא לא-יוצר אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה לרדיקל ג'ייקובסון מתורת החוגים. בדומה ללמה של נקיאמה, אם נוצרת סופית אז לכל תת-חבורה אמיתית H של G.

רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש-G אבלית, זה קורה אם ורק אם G חליקה. בכל מקרה, כאשר G אבלית, .

חבורות-p[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורת פרטיני של חבורת-p‏ P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם P סופית, אז המנה היא מהצורה עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה : גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

נילפוטנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם חבורת-M (חבורה שיש לה סדרה נורמלית שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל חבורה ליניארית נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

הכלת הקומוטטורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חבורה G, חיתוך המרכז עם תת-חבורת הקומוטטורים מוכל ב-. לעומת זאת, אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של G הן נורמליות. התנאי הזה מתקיים אם G חבורה נילפוטנטית; גם להפך: אם היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]