חבורה פרו-סופית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חבורה פרו-סופית היא חבורה, בדרך כלל אינסופית, הבנויה מאבני בניין סופית בדרך של גבול טופולוגי. כחבורה טופולוגית (האוסדורף), חבורה פרו-סופית מאופיינת בכך שהיא מרחב קומפקטי ובלתי-קשירה לחלוטין. חבורת גלואה של כל הרחבת שדות היא פרו-סופית.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. חבורה היא פרו-סופית אם ורק אם היא גבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות, המצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית.
  2. חבורה היא פרו-סופית אם ורק אם היא מצוידת בטופולוגיה ההופכת אותה לחבורה טופולוגית עם תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין.
  3. חבורה היא פרו-סופית אם ורק אם היא חבורת גלואה.

שקילות ההגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

 2 \Leftarrow 1

גבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא תת-מרחב של מרחב המכפלה שלהן. החבורות מצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית, ולכן הן בפרט בעלות תכונת האוסדורף, ובלתי-קשירות לחלוטין. תכונות אלו עוברות למרחבי מכפלה, ובירושה לתת-מרחבים. מכאן, שהגבול ההפוך הוא האוסדורף ובלתי-קשיר לחלוטין. בנוסף, במערכת פרויקטיבית של מרחבי האוסדורף קומפקטיים, הגבול ההפוך הוא קומפקטי. כיוון שהחבורות הטופולוגיות הנכפלות הן סופיות, הן בפרט קומפקטיות. נסיק כי גבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא האוסדורף, קומפקטי ובלתי-קשיר לחלוטין.

 3 \Leftarrow 2

תהי חבורה טופולוגית בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין. נתבונן בקבוצת הפונקציות הרציונליות שמקדמיהן בשדה מסוים, והמשתנים שלהן הם חבורות המנה של החבורה המקורית מעל תת-החבורות הנורמליות והפתוחות שלה. החבורה המקורית פועלת על קבוצת פונקציות זו באופן טבעי, וניתן להתבונן בכל איבר שלה כאוטומורפיזם של קבוצת הפונקציות. בהתאם, ניתן להגדיר את החבורה המקורית כחבורת גלואה של הרחבת שדות - כאשר ההרחבה היא קבוצת הפונקציות, והשדה המקורי הוא שדה השבת של החבורה.

 1 \Leftarrow 3

נצייד את חבורת גלואה בטופולוגית קרול, הקרויה על שם המתמטיקאי הגרמני וולפגנג קרול. על פי טופולוגיה זו, בסיס-סביבות של היחידה הוא חבורות גלואה ששדות השבת שלהן הם הרחבות נורמליות וסופיות של השדה המקורי. כיוון שההרחבות סופיות, האינדקס שלהן בחבורה כולה סופי - ומכאן, שחבורות המנה של החבורה המקורית מעליהן סופיות ודיסקרטיות. נקבע את יחס ההכלה בין ההרחבות כיחס סדר על חבורות המנה שלהן, ונקבל מערכת פרויקטיבית של מרחבים סופיים ודיסקרטיים. החבורה המקורית היא הגבול ההפוך במערכת.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל חבורה סופית היא באופן טריוויאלי חבורה פרו-סופית, אם נציידה בטופולוגיה הדיסקרטית.
  • כל חבורת גלואה המצוידת בטופולוגית קרול היא חבורה פרו-סופית. יתרה מכך, על ידי הסתמכות על טופולוגית קרול, ניתן להכליל את המשפט היסודי של תורת גלואה גם להרחבות ממימד אינסופי: ההתאמה המוגדרת במשפט נשמרת עבור תת-החבורות הסגורות של חבורת גלואה.
  • חבורת פרופר היא חבורה פרו-סופית, ומוגדרת כגבול ההפוך במערכת הפרויקטיבית הבנויה על חבורות המנה \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, כאשר היחס ביניהן מוגדר באופן הבא: n \ge m אם ורק אם  m|n .
  • לכל חבורה G אפשר להגדיר את ההשלמה הפרו-סופית \widehat{G} שהיא הגבול הפרויקטיבי של מערכת חבורות המנה הסופיות. אם חיתוך כל החבורות הנורמליות מאינדקס סופי ב-G הוא טריוויאלי, אז ההעתקה \phi: G \rightarrow \widehat{G} משכנת את G כתת-חבורה צפופה ב-\widehat{G}.
ההשלמה הפרו-סופית היא חבורה בעלת תכונה אוניברסלית - לכל חבורה פרו-סופית G' כך שקיים הומומורפיזם f: G \rightarrow G', אז יש הומומורפיזם g :\widehat{G} \rightarrow G', כך ש-g \circ \phi=f

תת-חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בקטגוריה של חבורות טופולוגיות, מורפיזמים הם כאלו השומרים על המבנה הטופולוגי, ולכן התמונה של מורפיזם היא תת-חבורה סגורה. בהתאם לכך, המונח "תת-חבורה" מתייחס בדרך כלל לתת-חבורה סגורה. כל תת-חבורה סגורה של חבורה פרו-סופית היא פרו-סופית, וכל חבורת מנה של חבורה פרו-סופית, ביחס לתת-חבורה נורמלית סגורה, היא חבורה פרו-סופית. גם המכפלה של חבורות פרו-סופיות היא פרו-סופית, והגבול ההפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות פרו-סופיות (אפילו אם אינן סופיות) הוא חבורה פרו-סופית.

משפט נילסן-שרייר קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית. תכונה זו אינה נכונה במלואה עבור חבורות פרו-סופיות. עם זאת, תת-חבורה (סגורה) של חבורה פרו-סופית חופשית היא חופשית, אם היא פתוחה, ובאופן כללי יותר אם היא תת-חבורה אמתית פתוחה של תת-חבורה (סגורה) כלשהי; אם היא מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים; ואם היא חיתוך אמיתי של שתי תת-חבורות נורמליות (סגורות) כלשהן.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Luis Ribes, Introduction to Profinite Groups and Galois Cohomology. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, Vol. 24, Queen’s University, Kingston, ON, 1999.
  • Michael D. Fried and Moshe Jarden, Field Arithmetic, 3rd Ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 11, Springer-Verlag, Berlin, 2005.