טנזור התמד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף טבלת טנזורי התמד)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף. כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.

הקדמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנע זוויתי של גוף ביחס לציר מסוים מוגדר כמכפלה וקטורית של התנע הקווי במרחק מהציר.

מכאן התנע הזוויתי של גוף קשיח מציר או נקודה מסוימת מוגדר כסכום כל התנעים של כל נקודה על הגוף ביחס לאותו ציר.

מפתיחת הווקטור למהירות זוויתית ווקטור המרחק לפי הרכיבים:

ומחישוב הנוסחה עבור כל ציר מתקבל שהתנע הזוויתי של הגוף הקשיח הוא:

כאשר: - היא יחידת מסת הגוף - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית - הן מספר יחידות המסה בגוף.

את המשוואות הללו ניתן לסדר במטריצה 3X3 כך שכל איבר במטריצה יהיה שווה בהתאמה לרכיב במערכת המשוואות.

טנזור ההתמד מוגדר כמטריצה כזאת וכך מסדר בביטוי פשוט להפליא את המכפלה הווקטורית של התנע הזוויתי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל לראות כי הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר המערכת:

  • - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ:
  • - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ:
  • - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ:

ושאר האיברים הם מכפלות הנקראות מכפלות התמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

  • - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים ומוגדר כ:
  • - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים ומוגדר כ:
  • - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים ומוגדר כ:
ומתקיים .

יתרונות לשימוש בטנזור בחישובים על גופים קשיחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת טנזור ההתמד נוח להציג את התנע הזוויתי של הגוף בכפל מטריצות: ונוח להציג את האנרגיה הקינטית של הגוף: . ניתן לעבור מערכות צירים בעזרת הפעלת טרנספורמציה על טנזור ההתמד ללא צורך לחשב את מומנטי ההתמד מחדש במערכת הצירים החדשה. אם היא מטריצת סיבוב, ו הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת נתון על ידי

הרכיבים של טנזור ההתמד כאינטגרלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מדובר בגוף רציף שלא ניתן לראות אותו כמורכב מיחידות בדידות קטנות, הגדרת רכיבי טנזור ההתמד נעשית בצורה שקולה לחלוטין באמצעות אינטגרלים:

כאשר:

  • - הוא נפח הגוף
  • - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
  • - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

מערכת צירים ראשית של גוף קשיח[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת שבה מכפלות ההתמד של הגוף מתאפסות נקראת מערכת צירים ראשיים. ובגלל העובדה שטנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי מסקנה בעלת משמעות פיזיקלית חשובה כי כתוצאה מכך לכל גוף תלת ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים. כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסוכבת למדי. אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה) ומתוארת מתמטית בעזרת משוואות אויילר תוך שימוש בטנזור ההתמד במערכת צירים ראשית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים. להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".

תיאור תרשים הגוף טנזור מומנט ההתמד
כדור מלא ברדיוס r ומסה m Moment of inertia solid sphere.png
כדור חלול ברדיוס r ומסה m Moment of inertia solid sphere.png

חרוט ברדיוס r, גובה h ומסה m, הציר עובר במרכז הבסיס Moment of inertia cone.png
קובייה מלאה ברוחב w, גובה h, עומק d, ומסה m Moment of inertia solid rectangular prism.png
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר בקצה Moment of inertia rod end.png

מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר במרכז המוט Moment of inertia rod center.png

גליל מלא ברדיוס r, גובה h ומסה m Moment of inertia solid cylinder.png

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]