מומנט התמד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מומנט ההתמד של מסה (ידוע גם בשמות מומנט אינרציה, או מסה זוויתית) מתאר את היחס בין המומנט המופעל על הגוף לבין התאוצה הזוויתית שאותה יפתח הגוף סביב ציר הסיבוב. (בדומה לתנועה קווית שם המסה מתארת את היחס בין הכוח הפועל על הגוף לתאוצת הגוף).

מומנט ההתמד הוא תכונה של גוף עבור ציר סיבוב מסוים: אין משמעות לביטוי "מומנט ההתמד של הגוף" ללא ציון הציר סביבו הוא מחושב או נמדד.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_V r^2 \,dm = \int_V r^2(v)\,\rho(v)\,dv = \iiint_V r^2(x,y,z)\,\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \!
Inertia01.JPG

כאשר:

במילים פשוטות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לסובב כדורסל, למשל, על חוד מחודד צריך להשקיע הרבה פחות מאמץ מאשר כדי לסובב כדור באולינג באותה מהירות. יהיה הרבה יותר קל לעצור כדורסל שכבר מסתובב מאשר כדור באולינג שמסתובב באותה מהירות. באותה מידה, צריך לבעוט בכדור באולינג הרבה יותר חזק מאשר בכדורסל כדי לגרום לו להתקדם במהירות מסוימת. ההסבר לתופעה הוא שהמסה של כדור הבאולינג הרבה יותר גדולה. כמו שהמסה בתנועה ישרה (בעיטה) משפיעה על התאוצה שיקבל הגוף כך קיים גורם פיזיקלי שדומה למסה שמשפיע על השינוי במהירות סיבוב של גוף מסוים על ציר. אותו הגורם ניקרא "מומנט התמד".

אם לשני גופים צורה זהה אזי הגוף בעל המסה הגדולה יותר יהיה גם בעל מומנט ההתמד הגדול יותר לכן קל יותר לסובב כדורסל, שהוא בעל מומנט התמד קטן יותר. למשקולת, אשר רוב משקלה מרוכז בקצוות, מומנט ההתמד הגדול יותר מאשר למשקולת כדורית באותו המשקל. לכן קל יותר לעצור משקולת כדורית מסתובבת מאשר את המשקולת הראשונה שמסתובבת על ציר.

ישנן מכוניות צעצוע רבות שניתן להתחיל להסיע אותן והן ממשיכות לנסוע מעצמן. בתוך המכונית נמצא גלגל מתכת כבד יחסית (גלגל תנופה). גלגל זה הוא בעל מומנט התמד גדול (יחסית) ולאחר שמתחילים להסיע את המכונית הוא מתחיל להסתובב וכשעוזבים אותה הוא ממשיך להניע. מומנט ההתמד הגבוה שלו מונע ממנו להאט במהירות (האטה שנגרמת תמיד בגלל כוח החיכוך) וכך המכונית ממשיכה לנסוע.

הסבר איכותי ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השימוש הבסיסי ביותר במומנט התמד הוא:

\ \sum \vec \tau = I\  \vec \alpha

כאשר:

  • \vec \alpha - התאוצה הזוויתית של גוף (שקולה לתאוצה קווית בתנועה בקו ישר)
  • \ I - מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור (במקרה הפשוט \ I=mr^2 ובעצם שקול למסה של הגוף בתנועה בקו ישר)
  • \vec \tau - מומנט הכוח. (שקול לכוח בתנועה בקו ישר)

ולכן נוסחת המומנט בתנועה מעגלית שקולה להחוק השני של ניוטון בתנועה בקו ישר:

\ \sum \vec F = m\  \vec a

מכאן רואים שככל שנפעיל מומנט כח גדול יותר על הגוף כך נקבל תאוצה זוויתית גדולה יותר. תאוצה זוויתית זו תתקבל ביחס ישר כאשר I הוא קבוע היחס.

הסבר[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנוסחה עבור חישוב מומנט התמד של גוף מסוים היא:

\ I= \int_{m} r^2dm = \int_{v} r^2\rho\, dv

כאשר:

  • \ I - מומנט ההתמד.
  • \rho\, - התפלגות מסה.
  • \ r - מרחק אנכי מציר הסיבוב
  • \ m - היא מסת הגוף

במקרה הבדיד (מספר סופי של חלקיקים נקודתיים בעלי מסה מוגדרת לכל אחד) ניתן להשתמש בנוסחה:

\ I=\sum_{i}^N m_ir_i^2

חישוב מומנט התמד של גוף מורכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר נרצה לחשב מומנט התמד של גוף מסובך המורכב ממספר של גופים נלך על פי השלבים הבאים:

  • חישוב מומנט ההתמד של כל אחד מן המסות אשר מרכיבות את הגוף סביב הציר בו הגוף מסתובב
    • במקרה של מסה לא נקודתית המרכיבה את הגוף (ריבוע,עיגול..) נחשב את מומנט ההתמד שלה סביב הציר הרצוי בעזרת משפט שטיינר
  • נבצע חיבור של כל מומנטי ההתמד ונקבל את מומנט ההתמד המלא של הגוף המורכב

לדוגמה: מסה נקודתית מתנגשת התנגשות פלסטית בריבוע. כל המערכת מונחת על שולחן אופקי חלק. כעת זוג המסות יחלו להסתובב סביב מרכז המסה החדש לכן נפעל לפי השלבים:


  • נחשב מומנט ההתמד של הריבוע דרך משפט שטיינר כאשר המרחק מציר הסיבוב הינו המרחק מן מרכז המסה החדש (מסה נקודתי + ריבוע).
  • מומנט ההתמד של המסה הנקודתי הינו המסה כפול המרחק שלה בריבוע מן מרכז המסה החדש
  • נחבר את מומנטי ההתמד הללו ונקבל את מומנט ההתמד של הגוף המורכב

סכום מומנטי ההתמד[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום מומנטי ההתמד למערכת צירים ישרת זווית איננו מושפע מהכוון של הצירים אלא רק ממיקום מוצא הצירים.

\ I_{xx} +I_{yy} + I_{zz} = \iiint_V (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv
+ \iiint_V (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv 
+ \iiint_V (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
\ I_{xx} +I_{yy} + I_{zz} = \iiint_V 2 (x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv =
 \iiint_V 2 r^{2} \,\rho(v)\,dv \!

כאשר:

מומנטי התמד של גופים שונים, סביב מרכז הכובד[עריכת קוד מקור | עריכה]

Cilindro.svg \frac {1}{2}M r^2 Cilindro orizzontale.svg \frac {1}{12}M l^2
Parallelepipedo.svg \frac {1}{12}M (a^2 + b^2) Sfera.svg \frac {2}{5}M r^2 Toro quadrato.svg \frac {1}{2}M ({r_2}^2 + {r_1}^2)

כאשר:

  • \ M - היא מסת הגוף
  • \ r - הוא רדיוס הגליל או הכדור ביחידות אורך
  • \ h - הוא גובה הגליל ביחידות אורך
  • \ a,b - הם ממדי התיבה ביחידות אורך
  • \ l - הוא אורך הגליל ביחידות אורך

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]