מכניקת המטריצות

מכניקת המטריצות היא ניסוח של מכניקת הקוונטים שנוצר על ידי ורנר הייזנברג, מקס בורן ופסקואל יורדן בשנת 1925. זה היה הניסוח הראשון של מכניקת הקוונטים שהיה אוטונומי רעיונית ועקבי מבחינה לוגית. התיאור שלו של מעברי רמות אנרגיה באטום החליף את האורביטלים שבמודל האטום של בוהר. מכניקת המטריצות עשתה זאת באמצעות ייצוג התכונות הפיזיקליות של חלקיקים כמטריצות המתפתחות בזמן. היא שקולה לניסוח הגל של שרדינגר למכניקת הקוונטים, כפי שמתבטא בסימון דיראק.

במכניקת המטריצות, בניגוד מסוים למכניקת הגלים (ניסוח תורת הקוונטים באמצעות פונקציות גל), ספקטרום של אופרטורים (בעיקר אופרטורי אנרגיה) מחושב בשיטות אלגבריות גרידא, שיטות אופרטור סולם. בהסתמך על שיטות אלה, וולפגנג פאולי הסיק את רמות האנרגיה של אטום המימן בשנת 1926, לפני פיתוח מכניקת הגלים.

היסטוריה

התגלות בהלגולנד

בשנת 1925 עבד ורנר הייזנברג בגטינגן על בעיית חישוב הקווים הספקטרליים של מימן. עד מאי 1925 הוא החל לנסות לתאר מערכות אטומיות באמצעות גדלים מדידים בלבד. ב-7 ביוני, לאחר שבועות שבהם לא הצליח להקל על קדחת השחת שלו עם אספירין וקוקאין, עזב הייזנברג לאי הלגולנד שבים הצפוני. בעודו שם, בין טיפוס לשינון שירים מ"דיוואן מערב-מזרחי" של גתה, הוא המשיך להרהר בסוגיה הספקטרלית ובסופו של דבר מצא דרך לפתרון. מאוחר יותר כתב:

השעה הייתה בערך שלוש בלילה כשהתוצאה הסופית של החישוב הייתה מונחת לפני. בהתחלה הייתי מזועזע עמוקות. כל כך התרגשתי שלא יכולתי לחשוב על שינה. אז יצאתי מהבית וחיכיתי לזריחה על ראש סלע.

שלושת המאמרים הבסיסיים

לאחר שהייזנברג חזר לגטינגן, הוא הראה לוולפגנג פאולי את החישובים שלו, והעיר בשלב מסוים:

הכל עדיין מעורפל ולא ברור לי, אבל נראה כאילו האלקטרונים לא יזוזו יותר במסלולים.

ב-9 ביולי מסר הייזנברג את אותו מאמר של חישוביו למקס בורן, ואמר כי הוא "כתב מאמר מטורף ולא העז לשלוח אותו לפרסום, ושבורן צריך לקרוא אותו ולייעץ" לפני הפרסום. הייזנברג עזב לאחר מכן לזמן מה, והשאיר את בורן לנתח את המאמר.

במאמר ניסח הייזנברג את תורת הקוונטים ללא מסלולי אלקטרונים חדים. הנס קרמרס חישב מוקדם יותר את העוצמות היחסיות של קווים ספקטרליים במודל זומרפלד מתוך פירוש מקדמי פורייה של המסלולים כעוצמות. אבל התשובה שלו, כמו כל שאר החישובים בתורת הקוונטים הישנה, הייתה נכונה רק למסלולים גדולים.

הייזנברג, לאחר שיתוף פעולה עם קרמרס, החל להבין שהסתברויות המעבר אינן ממש גדלים קלאסיים, מכיוון שהתדירויות היחידות המופיעות בטור פורייה אמורות להיות אלו הנצפות במעברי רמות אנרגיה באטום, ולא הבדיוניות המגיעות מאנליזת פורייה של מסלולים קלאסיים חדים. הוא החליף את טור פורייה הקלאסי במטריצה של מקדמים, מעין אנלוג קוונטי מעורפל של טור פורייה. באופן קלאסי, מקדמי פורייה נותנים את עוצמת הקרינה הנפלטת, כך שבמכניקת הקוונטים גודלם של רכיבי המטריצה של אופרטור המיקום היו עוצמת הקרינה בספקטרום הקו הבהיר. הכמויות בניסוח של הייזנברג היו המיקום והתנע הקלאסיים, אך כעת הן כבר לא הוגדרו בצורה חדה. כל כמות יוצגה על ידי אוסף של מקדמי פורייה עם שני אינדקסים, התואמים למצב ההתחלתי והסופי.

כאשר בורן קרא את המאמר, הוא זיהה בניסוח בסיס שניתן להרחבה באמצעות השפה השיטתית של המטריצות, שאותה הוא למד אצל יעקב רוזנס באוניברסיטת ברסלאו. בורן, בסיוע עוזרו ותלמידו לשעבר פסקואל יורדן, החל מיד ליישם את ההרחבה הזו, והם הגישו את תוצאותיהם לפרסום; המאמר התקבל לפרסום רק 60 יום לאחר המאמר של הייזנברג.

מאמר המשך הוגש לפרסום לפני סוף השנה על ידי כל שלושת המחברים.

עד אותו זמן, פיזיקאים כמעט ולא השתמשו במטריצות, והן נחשבו כשייכות לתחום המתמטיקה הטהורה. גוסטב מי השתמש בהן במאמר על אלקטרודינמיקה בשנת 1912 ובורן השתמש בהן בעבודתו על תורת הסריגים של גבישים בשנת 1921. אף שמטריצות שימשו במקרים אלה, האלגברה של מטריצות עם הכפל שלהן לא הייתה משמעותית כמו בניסוח זה של מכניקת הקוונטים.

בכל אופן, בורן למד אלגברת מטריצות מרוזנס, כפי שכבר צוין, אך בורן למד גם את התאוריה של הילברט על משוואות אינטגרליות ותבניות ריבועיות עבור מספר אינסופי של משתנים, כפי שמתברר מציטוט של בורן מעבודתו של הילברט, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen ("יסודות לתיאוריה כללית של משוואות אינטגרליות ליניאריות") שפורסמה ב-1912.

גם יורדן היה מצויד היטב למשימה. במשך מספר שנים, הוא היה עוזרו של ריכרד קוראנט בגטינגן בהכנת ספרם של קוראנט והילברט Methoden der mathematischen Physik I ("שיטות בפיזיקה מתמטית I"), שראה אור ב-1924. קרה המקרה שספר זה הכיל הרבה מאוד מהכלים המתמטיים שנדרשו להמשך הפיתוח של מכניקת הקוונטים.

בשנת 1926 מונה ג'ון פון נוימן לעוזרו של הילברט, והוא טבע את המונח מרחב הילברט כדי לתאר את האלגברה והאנליזה ששימשו בפיתוח מכניקת הקוונטים.

תרומה מרכזית לניסוח זה הושגה במאמר הפרשנות/סינתזה מחדש של פול דיראק משנת 1925, שהמציא את השפה והמסגרת המופעלים בדרך כלל כיום, תוך תצוגה מלאה של האופי הלא-קומוטטיבי של המבנה כולו.

הלוגיקה של הייזנברג

לפני מכניקת המטריצות, תורת הקוונטים הישנה תיארה את תנועתו של חלקיק במסלול קלאסי, עם מיקום ותנע מוגדרים היטב X(t), P(t), תחת האילוץ שהאינטגרל לפי הזמן על פני מחזור אחד T של התנע כפול המהירות חייב להיות כפולה חיובית שלמה של קבוע פלאנק (h):

$$\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{X(0)}^{X(T)}P\;dX=nh.$$

בעוד שאילוץ זה בוחר מסלולים עם ערכי אנרגיה נכונים פחות או יותר E_n, הפורמליזם של מכניקת הקוונטים הישנה לא תיאר תהליכים תלויי זמן, כגון פליטה או בליעה של קרינה.

כאשר חלקיק קלאסי מצומד בצורה חלשה לשדה קרינה, הוא יפלוט קרינה בתבנית שחוזרת על עצמה בכל מחזור. התדירויות המרכיבות את הגל היוצא יהיו אז כפולות שלמות של תדירות התנועה, וזה שיקוף של העובדה ש-X(t) הוא מחזורי, כך שבייצוג פורייה שלו יש רק תדירויות שהן כפולות של 2π/T, דהיינו

$$X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n}$$

והמקדמים X_n הם מספרים מרוכבים, וכל מקדם המתאים לתדירות שלילית חייב להיות הצמוד המרוכב של המקדם המתאים לתדירות החיובית כך ש-X(t) יהיה תמיד ממשי:

$$X_{n}=X_{-n}^{*}$$

במכניקת הקוונטים, לעומת זאת, חלקיק אינו יכול לפלוט קרינה ברציפות, הוא יכול רק לפלוט פוטונים. בהנחה שהחלקיק הקוונטי התחיל במסלול מספר n, פלט פוטון, ואז הגיע למסלול מספר m, האנרגיה של הפוטון היא E_n−E_m, כלומר התדירות שלו היא (E_n − E_m)/h.

עבור n ו-m גדולים, עם הפרש (n-m) קטן יחסית, אלו הם התדירויות הקלאסיות לפי עקרון ההתאמה של בוהר

$$E_{n}-E_{m}\approx h(n-m)/T.$$

.

בנוסחה זו T הוא המחזור הקלאסי של מסלול n או מסלול m; מכיוון שההבדל ביניהם הוא מסדר גבוה יותר ב-h, ניתן מעשית להשתמש בכל אחד מהם. אבל עבור n ו-m קטנים, או אם n−m גדול, התדירויות אינן כפולות שלמות של כל תדירות בודדת.

העובדה שהתדירויות שהחלקיק פולט זהות לתדירויות בתיאור פורייה של תנועתו רומזת שמשהו בתיאור התלוי בזמן של החלקיק מתנודד בתדירות (E_n−E_m)/h. הייזנברג קרא לגודל הזה X_nm, ודרש שהוא יתלכד עם מקדמי פורייה הקלאסיים בגבול הקלאסי. עבור ערכים גדולים של n, m אבל עם n-m קטן יחסית, X_nm הוא מקדם פורייה ה-(n−m) של התנועה הקלאסית במסלול n. מכיוון של-X_nm יש תדר הפוך ל-X_mn, התנאי ש-X ממשי הופך ל-

$$X_{nm}=X_{mn}^{*}$$

.

לפי הגדרה, ל-X_nm יש רק את התדירות (E_n−E_m)/h, כך שההתפתחות של הגודל הזה בזמן פשוטה יחסית:

$$X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)=e^{i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }X_{nm}(0)$$

. זו הצורה המקורית של משוואת התנועה של הייזנברג.

בהינתן שני מערכים X_nm ו-P_nm המתארים שני גדלים פיזיקליים, הייזנברג בנה מערך חדש מאותו סוג, באמצעות שילוב הגורמים X_nkP_km, שגם הם מתנודדים בתדירות הנכונה. כיוון שמקדמי פורייה של מכפלת שני גדלים הם הקונבולוציה של מקדמי פורייה של כל אחד בנפרד, ההתאמה עם סדרת פורייה אפשרה להייזנברג להסיק את הכלל לפיו יש להכפיל את המערכים,

$$(XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}$$

.

בורן ציין ש"זהו חוק הכפל המטריצה", כך שהמיקום, התנע, האנרגיה, כל הגדלים המדידים בתיאוריה, מתפרשים כמטריצות. לפי כלל הכפל הזה, המכפלה תלויה בסדר: XP שונה מ-PX.

מטריצת ה-X היא תיאור מלא של תנועתו של חלקיק במכניקת הקוונטים. מכיוון שהתדירויות בתנועה הקוונטית אינן כפולות של תדירות משותפת, מרכיבי המטריצה לא יכולים להתפרש כמקדמי פורייה של מסלול קלאסי חד. אף על פי כן, כמטריצות, X(t) ו-P(t) מצייתים למשוואות התנועה הקלאסיות; ראו גם משפט ארנפסט.

יסודות מכניקת המטריצות

כשהוצגה על ידי הייזנברג, בורן ויורדן ב-1925, מכניקת המטריצות לא התקבלה מיד והיוותה מקור למחלוקת. ההקדמה המאוחרת של שרדינגר למכניקת הגלים הייתה מועדפת.

חלק מהסיבה לכך היה שהניסוח של הייזנברג היה בשפה מתמטית מוזרה, לאותה עת, בעוד שהניסוח של שרדינגר התבסס על משוואות גלים מוכרות. אבל הייתה גם סיבה סוציולוגית עמוקה יותר. מכניקת הקוונטים התפתחה בשני נתיבים, האחד בראשות אלברט איינשטיין, שהדגיש את דואליות גל-חלקיק שהציע עבור פוטונים, והשני בראשות נילס בוהר, שהדגיש את מצבי האנרגיה הבדידים והקפיצות הקוונטיות שגילה. דה ברויי שיחזר את מצבי האנרגיה הבדידים במסגרת שיצר איינשטיין - המצב הקוונטי הוא מצב הגל העומד, וזה נתן תקווה לחברי אסכולת איינשטיין שכל ההיבטים הבדידים של מכניקת הקוונטים ייכללו במכניקת גלים רציפה.

מכניקת המטריצות, לעומת זאת, הגיעה מאסכולת בוהר, שעסקה במצבי אנרגיה בדידים ובקפיצות קוונטיות. חסידיו של בוהר לא העריכו מודלים פיזיקליים שציירו אלקטרונים כגלים, או כמשהו בכלל. הם העדיפו להתמקד בגדלים שהיו קשורים ישירות לניסויים.

בפיזיקה האטומית, ספקטרוסקופיה נתנה נתוני תצפית על מעברים אטומיים הנובעים מאינטראקציות של אטומים עם קוונטים של אור. אסכולת בוהר דרשה שרק הכמויות הניתנות למדידה עקרונית בספקטרוסקופיה יופיעו בתאוריה. כמויות אלו כוללות את רמות האנרגיה ואת עוצמתן אך הן אינן כוללות את המיקום המדויק של חלקיק במסלול בוהר שלו. קשה מאוד לדמיין ניסוי שיוכל לקבוע אם אלקטרון במצב היסוד של אטום מימן נמצא מימין או משמאל לגרעין. המוסכמה הייתה שלשאלות כאלה אין תשובה.

ניסוח מכניקת המטריצות נבנה על הנחת היסוד שכל הגדלים המדידים הפיזיקליים מיוצגים על ידי מטריצות, ושמיקומי הרכיבים שלהן (מספר הטור והשורה) מייצגים שתי רמות אנרגיה שונות. קבוצת הערכים העצמיים של המטריצה הובנה בסופו של דבר כקבוצה של כל הערכים האפשריים שיכולים להיות לגודל המדיד. מכיוון שהמטריצות של הייזנברג הן הרמיטיות, הערכים העצמיים הם ממשיים.

אם מתבצעת מדידה של גודל פיזיקלי והתוצאה היא ערך עצמי מסוים, הווקטור העצמי המתאים הוא מצב המערכת מיד לאחר המדידה. פעולת המדידה במכניקת המטריצות 'ממוטטת' את מצב המערכת. אם מודדים שני גדלים מדידים בו זמנית, מצב המערכת קורס לווקטור עצמי משותף של שני הגדלים. כיוון שלרוב המטריצות אין וקטורים עצמיים משותפים, את רוב הנצפים לעולם לא ניתן למדוד במדויק בו-זמנית. זהו עקרון האי-ודאות.

כאשר שתי מטריצות חולקות את הווקטורים העצמיים שלהן, ניתן ללכסן אותן בו זמנית. בבסיס שבו שתיהן אלכסוניות, ברור שהמכפלה שלהן לא תלויה בסדר שלהן, משום שכפל של מטריצות אלכסוניות הוא רק כפל של מספרים. עקרון האי-ודאות, לעומת זאת, הוא ביטוי לעובדה שלעיתים קרובות כפל שתי מטריצות A ו-B אינו תמיד קומוטטיבי, כלומר, ש-AB − BA לא בהכרח שווה 0. יחס הקומוטטיביות הבסיסי של מכניקת המטריצות,

$$\sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})=i\hbar \,\delta _{nm}$$

קובע שאין מצבים שיש להם בו זמנית מיקום ותנע מוגדרים.

עיקרון זה של אי-ודאות תופס גם עבור זוגות רבים אחרים של גדלים מדידים. למשל, גם האנרגיה אינה קומוטטיבית עם המיקום, ולכן אי אפשר לקבוע במדויק את המיקום והאנרגיה של אלקטרון באטום.

פרס נובל

בשנת 1928 המליץ איינשטיין על הייזנברג, בורן ויורדן לפרס נובל לפיזיקה. ההכרזה על פרס נובל לפיזיקה לשנת 1932 נדחתה עד לנובמבר 1933. באותה תקופה הוכרז שהייזנברג זכה בפרס לשנת 1932 "על יצירת מכניקת הקוונטים, שיישומה הוביל, בין היתר, לגילוי הצורות האלוטרופיות של מימן", וארווין שרדינגר ופול דיראק חלקו את פרס 1933 "על גילוי צורות יצרניות חדשות של תורת האטום".

אפשר בהחלט לשאול מדוע לא הוענק לבורן הפרס ב-1932, יחד עם הייזנברג, וג'רמי ברנשטיין העלה השערות בעניין זה. אחת מהן מתייחסת להצטרפות יורדן למפלגה הנאצית ב-1 במאי 1933 וכן לאס אה. ייתכן שהקשרים של יורדן עם בורן השפיעו על סיכויו של בורן לזכות בפרס. ברנשטיין מציין עוד כי כאשר בורן זכה לבסוף בפרס ב-1954, יורדן עדיין היה בחיים, בעוד הפרס הוענק על הפרשנות הסטטיסטית של מכניקת הקוונטים, המיוחסת לבורן לבדו.

תגובותיו של הייזנברג לבורן על הענקת פרס נובל הן מאלפות גם בהערכה האם בורן היה צריך לחלוק את הפרס עם הייזנברג. ב-25 בנובמבר 1933 קיבל בורן מכתב מהייזנברג בו אמר שהוא התעכב בכתיבה בגלל "מצפון רע" שהוא לבדו קיבל את הפרס "על עבודה שנעשתה בגטינגן בשיתוף פעולה - אתה, יורדן ואני." הייזנברג המשיך ואמר שלא ניתן לשנות את תרומתם של בורן ויורדן למכניקת הקוונטים על ידי "החלטה שגויה מבחוץ".

בשנת 1954, הייזנברג כתב מאמר המכבד את מקס פלאנק על תובנתו בשנת 1900. במאמר, הייזנברג ייחס לבורן ויורדן את הניסוח המתמטי הסופי של מכניקת המטריצות והמשיך והדגיש עד כמה גדולה תרומתם למכניקת הקוונטים, שהייתה לא "מוכרת כראוי בעיני הציבור".

לקריאה נוספת

• טוביאס הירטר, עידן האי־ודאות – איך גילו גדולי הפיזיקאים את עולם הקוונטים 1895–1945, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2023, הפרק "רחבותו של הים וזעירותם של האטומים", עמ' 133–142.

• Herbert S. Green, Matrix mechanics, P. Noordhoff Ltd, Groningen, Netherlands, 1965. ASIN : B0006BMIP8
• Max Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1966
• Thomas F. Jordan, Quantum mechanics in simple matrix form, Dover Publications, Mineola, N.Y 2006, ISBN 0-486-44530-5

קישורים חיצוניים

• On Matrix Mechanics, MathPages