קבוע אפרי

במתמטיקה, קבוע אפרי הוא הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה 3, כלומר המספר

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{6^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{8^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+\ldots \approx 1.20205\ldots$.

הקבוע נקרא על שם רוז'ה אפרי (1916–1994) שהוכיח בשנת 1978 שהקבוע הוא אי-רציונלי.

רקע

ב-1735 פתר לאונרד אוילר את בעיית בזל והוכיח ש-$\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$. אוילר אף הגדיל לעשות והראה ש-$\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}$, כאשר $B_{k}$ הוא מספר ברנולי ה-k. כיוון שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, תוצאתו של אוילר מראה שכל ערכי פונקציית זטא במספרים טבעיים זוגיים הם מספרים טרנסצנדנטיים (ובפרט אי-רציונליים).

לעומת זאת, לא נמצאה דרך דומה לחשב את ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, והשאלה האם ערכים אלו אי-רציונליים נותרה פתוחה ב-200 השנים הבאות.

ב-1978 הציג רוז'ה אפרי, מתמטיקאי מבוגר ואלמוני למדי, הוכחה מפתיעה לכך ש-$\zeta (3)$ הוא אי-רציונלי. מאז הקבוע נקרא על שמו. משערים שקבוע אפרי הוא מספר טרנסנצנדטי, אך טענה זו טרם זכתה להוכחה.

ההוכחה של אפרי

ההוכחה של אפרי לאי-רציונליות של $\zeta (3)$ נחשבת לטכנית ו"אד הוקית" למדי.

ההוכחה מסתמכת על משפט ידוע של דיריכלה הקובע שמספר רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר העולה על 1. אפרי מצא טור של מספרים רציונליים שמתכנס ל-$\zeta (3)$ מהר מספיק כדי לייצר קירוב דיופנטי מסדר העולה על 1.

ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות נוספות

ניסיון להשתמש בשיטה של אפרי במטרה להוכיח שערכים נוספים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות גם הם אי-רציונליים נחל כישלון. זאת על אף שמשערים שכל הערכים הם אי-רציונליים.

Wadim Zudilin הוכיח בתחילת שנות ה-2000 שקיימים אינסוף ערכים אי-רציונליים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, ושלפחות אחד מבין ערכי הפונקציה בנקודות 5, 7, 9, 11 הוא אי-רציונלי.

ראו גם

• קבוע קטלן

לקריאה נוספת

• Paul J. Nahin, World's Most Mysterious Unsolved Math Problem, Princeton University Press, 2021

קישורים חיצוניים

• קבוע אפרי, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע אפרי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• סדרת המספרים בהצגה של קבוע אפרי כשבר משולב באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים