מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)

במתמטיקה ובתורת המספרים מספר מחלקה של מספר שלם $d$ הוא מספר התבניות הריבועיות הבינריות מדסקרימנטה $d$ עד כדי שקילות. מושג זה הוגדר על ידי גאוס והוכלל מאוחר יותר על ידי דדקינד למושג מספר מחלקה של שדה מספרים.

הגדרה פורמלית

• תבנית ריבועית בינארית היא פונקציה $f:\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z}$ מהצורה $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$.
• שתי תבניות $f_{1}$ ו - $f_{2}$ נקראת שקולות אם קימת מטריצה
  $${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$$
  בעלת דטרמיננטה 1 עם מקדמים שלמים כך ש:
  $$f_{1}(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f_{2}(x,y)$$
• הדיסקרימיננטה של תבנית רבועית $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ מוגדרת להיות $\Delta =b^{2}-4ac$
• מספר המחלקה של $d$ הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה $d$ עד כדי שקילות.

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של $n$ לבין ערך של פונקציית L של דיריכלה המתאימה לקרקטר ממשי המתאים ל $n$.

קשר למספר המחלקה של שדה

ערך מורחב – מספר מחלקה (תורת המספרים)

דדקינד הכליל את מושג מספר המחלקה למושג שמגדיר מספר עבור כל שדה מספרים. שני המושגים קשורים באופן הבא: עבור מספר שלם $d$, מספר המחלקה של השדה $\mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle$ שווה למספר המחלקה של המספר $d$.

לקריא נוספת

• The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

ראו גם

• מספר מחלקה (תורת המספרים)
• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

קישורים חיצוניים

• מספר מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)