פונקציית L של דיריכלה

במתמטיקה פונקציית L של דיריכלה היא טור דיריכלה שסדרת מקדמיו היא קרקטר דיריכלה. דיריכלה הגדיר מושג זה כחלק מרכזי בהוכחתו של משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות. זוהי הדוגמה הראשונה לפונקציית L (שאיננה פונקציית זטא). דוגמה זו הובילה לדוגמאות רבות נוספות ונחשבת לעיתים ללידתה של תורת המספרים האנליטית.

רקע

טור דיריכלה

ערך מורחב – טור דיריכלה

טור דיריכלה הוא טור מהצורה

$$L(s,a):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.$$

כאשר $a:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ היא סדרת מקדמים ו - $s$ הוא משתנה מרוכב.

אם סדרת המקדמים לא גדלה מהר מידי, אז טור זה מתכנס בהחלט בקבוצה מהצורה $\{s|\Re (s)>\sigma \}$ כאשר $\sigma$ הוא מספר ממשי. הישר $\{s|\Re (s)=\sigma \}$ נקרא אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.

פונקציית זטא של רימן

ערך מורחב – פונקציית זטא של רימן

הדוגמה הבסיסית ביותר לטור דיריכלה היא פונקציית זטא של רימן. במקרה זה כל המקדמים $a(n)$ שווים ל - 1. לפונקציית זטא של רימן יש תכונות רבות שאין לרוב טורי דיריכלה. בראש תכונות אלה נמצאות מכפלת אוילר והמשכה אנליטית לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב.

מכפלת אוילר

ערך מורחב – מכפלת אוילר

אחת התכונות הבסיסיות ביותר של פונקציית זטא של רימן היא מכפלת אוילר. מכפלת אוילר נותנת את הביטוי הבא לפונקציית זטא של רימן (בתחום ההתכנסות שלה):

$$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}$$

כאן $\zeta$ מסמנת את פונקציית זטא של רימן והמכפלה היא על כל הראשוניים.

קל להסיק את נוסחת המכפלה הזאת ממשפט הקיום והיחידות הפרוק לגורים ראשוניים.^{[דרושה הבהרה]}

פונקציית L

ערך מורחב – פונקציית L

אין הגדרה מוסכמת אחת למושג הכללי של פונקציית L, אבל באופן כללי פונקציית L היא טור דיריכלה שמקיים תכונות הדומות לאלה של פונקציית זטא של רימן, ובראשן מכפלת אוילר והמשכה אנליטית.

קרקטר דיריכלה

ערך מורחב – קרקטר דיריכלה

דיריכלה הבין שאם סדרת המקדמים היא כפלית אז לטור דיריכלה המתאים יהיה אפשר לכתוב מכפלת אוילר. זה נותן את המוטיבציה להגדרה הבאה:

קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) $m$ הוא פונקציה $\chi :\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ המקיימת:

1. לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (n+m)=\chi (n)$
2. לכל $n$ שאינו זר ל-$m$ מתקיים: $\chi (n)=0$
3. לכל $n,k\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (nk)=\chi (n)\chi (k)$
4. $\chi (1)=1$

הגדרה

פונקציית L של דיריכלה היא טור דיריכלה שסדרת מקדמיו היא קרקטר דיריכלה. באופן מפורש פונקציית L של דיריכלה מוגדרת על ידי הטור

$$L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$$

כאשר $\chi :\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ הוא קרקטר דיריכלה. טור זה מתכנס בהחלט בחצי המישור

$$\{s|\Re (s)>1\}.$$

הערה על הטרמינולוגיה

השם פונקציית L של דיריכלה יכול להתייחס, בהתאם להקשר, הן לטור כביטוי, הן לערכו של טור זה כפונקציה מחצי המישור $\{s|\Re (s)>1\}$ ל - $\mathbb {C}$ והן להמשכה האנליטית של פונקציה זו (ראו להלן). השימוש האחרון הוא הנפוץ ביותר.

תכונות

• מכפלת אוילר: באופן דומה למכפלת אוילר הקלאסית קל להראות שפונקציית L של דיריכלה מקיימת את נוסחת המכפלה הבאה:

$$L(s,\chi )=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}$$

• המשכה אנליטית: לפונקציית L של דיריכלה יש המשכה אנליטית לכל המישור מלבד הנקודה $s=1$.
  • אם הקרקטר $\chi$ לא טריוויאלי (זאת אומרת שהוא מקבל גם ערכים שאינם 0 או 1) אז המשכה זו אנליטית גם בנקודה $s=1$. אחרת לפונקציית L יש קוטב פשוט בנקודה זו (במקרה זה פונקציית L של דיריכלה שווה לפונקציית זטא עד כדי כופל פשוט).
• משוואה פונקציונלית: פונקציית L של דיריכלה מקיימת משוואה פונקציונלית הקושרת את ערכה בנקודה $s$ לערכה בנקודה $1-s$. משוואה זו דומה למשוואה הפונקציונלית של פונקציית זטא של רימן.
• אי־התאפסות ב - 1: דיריכלה הוכיח שעבור קרקטר דיריכלה לא טריוויאלי פונקציית L לא מתאפסת בנקודה $s=1$. משפט זה מהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.
• אי־התאפסות על אבסיסת ההתכנסות: אדמר ודה לה ואלה פוסן הוכיחו שפונקציית L לא מתאפסת כאשר $\Re (s)=1$. הם הוכיחו אי־התאפסות זו בסמוך להוכחתם של משפט המספרים הראשוניים. ההוכחה משלבת בין הוכחתו של דיריכלה לאי־ההתאפסות בנקודה 1 והוכחתם לאי־התאפסות של פונקציית זטא על אבסיסת ההתכנסות שלה (המהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט המספרים הראשוניים). אי־התאפסות זו גוררת גרסה של משפט דיריכלה המשלבת בין משפט דיריכלה למשפט המספרם הראשוניים. גרסה זו נוגעת לצפיפות הטבעית של מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית.
• אי־התאפסויות נוספות: במרוצת השנים הוכיחו מתמטיקאים רבים אי־התאפסות של פונקציית L בתחומים נוספים. אי־התאפסויות אלה גוררות טענות נוספות על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות. הכללה אולטימטיבית של אי־התאפסויות אלה היא ההשערה שפונקציית L לא מתאפסת בחצי המישור $\{s|\Re (s)>{\frac {1}{2}}\}$. השערה זו היא מקרה פרטי של השערת רימן המוכללת והיא גוררת מידע מדויק למדי על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה: עבור קרקטר דיריכלה ממשי $\chi$, דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין הערך $L(1,\chi )$ לבין מספר מחלקה של מספר שלם המתקבל מהמנחה של $\chi$. מנוסחה זו ניתן להסיק מידית את אי־ההתאפסות של $L(1,\chi )$. דיריכלה גם פיתח נוסחה נוספת, מפורשת יותר, לערך $L(1,\chi )$ אך לא ניתן להסיק ממנה ישירות את אי־ההתאפסות של $L(1,\chi )$.
• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור שדות ציקלוטומיים: מנוסחה זו קל להסיק קשר בין מכפלת הערכים $L(1,\chi )$ עבור קרקטרים (לא טריוויאליים) בעלי אותו המנחה ובין מספר המחלקה של ההרחבה הציקלוטומית המתאימה. מכאן קל להסיק את אי־ההתאפסות של $L(1,\chi )$. זאת לא הייתה ההוכחה המקורית של דיריכלה לאי־התאפסות זו. דיריכלה הוכיח את אי־ההתאפסות עבור קרקטר ממשי על ידי נוסחת מספר המחלקה שלו, והשתמש בשיטה פשוטה יותר כדי להראות את אי־ההתאפסות עבור קרקטר שאינו ממשי.

ראו גם

• פונקציית L
  • פונקציית זטא
    • פונקציית זטא של רימן
    • פונקציית זטא של דדקינד
  • פונקציית L של ארטין
• קרקטר דיריכלה
• משפט דיריכלה
• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד

לקריאה נוספת

• The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood מאת Władysław Narkiewicz.

קישורים חיצוניים

• קורס של נועם אלקיס בתורת המספרים האנליטית.