משפט הסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Triangle and circumcircle with notations.png

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו-  \alpha,\beta,\gamma הזויות שמולן, בהתאמה, אז {a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

תוכן עניינים

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

א[עריכת קוד מקור | עריכה]

Law of sines proof.png

גובה המשולש המסומן ב -  h ניתן להצגה באופן הבא:

\  h =  b \sin \alpha

אבל גם באופן הזה:

\  h =  a \sin \beta

ולכן:

\ b \sin \alpha = a \sin \beta

או

\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, ההוכחה נכונה עבור הזווית המשלימה לזווית הקהה, אך זה לא משנה על פי הזהות \sin \alpha = \sin (180-\alpha). כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב[עריכת קוד מקור | עריכה]

Law of sines.png

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC. במשולש ישר-זווית זה (הזווית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטר של מעגל). נסמן ב - \delta את הזווית CDB ואז

\ a = 2R \sin \delta

אבל זווית  \delta שווה לזווית  \alpha כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

\ a = 2R \sin \alpha

או

\ \frac{a}{ \sin \alpha} = 2R

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה  \alpha הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה  \beta .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]