משפט סטון-ויירשטראס

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

מרחב קומפקטי, משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט סטון-ויירשטראס

קירוב של פונקציית הערך המוחלט על ידי פולינום. קיום קירוב כזה הוא מקרה פרטי של משפט סטון-ויירשטראס (ולמעשה גם מקרה פרטי של משפט הקירוב של ויירשטראס). ההוכחות הסטנדרטיות של משפט סטון-ויירשטראס מבוססות על מקרה פרטי זה.
מידע כללי
תחום	אנליזה מתמטית
נקרא על שם	מרשל סטון וקארל ויירשטראס
ניסוח	כל אלגברת פונקציות רציפות ממשיות על קומפקט ללא אפסים משוטפים שמפרידה נקודות צפופה.
נוסחה	$K-compact;A\subset C(K,\mathbb {R} );$ $AA=\mathbb {R} A=A+A=A;$ $\forall x\neq y\in K.\exists f\in A.\,0\neq f(x)\neq f(y)$ $\Downarrow$ ${\bar {A}}=C(K)$
היסטוריה
הוכח על ידי	מרשל סטון
תאריך הוכחה	1948
הקשר
מכליל את	משפט הקירוב של ויירשטראס גרסה חלשה של משפט פייר
הכללות	משפט בישופ
כלים בהוכחה	משפט הקירוב של ויירשטראס
משמש ב	ספרביליות של מרחבים וקטוריים טופולוגיים

משפט סטון-ויירשטראס הוא תוצאה חשובה באנליזה פונקציונלית, המאפיינת באופן מלא את כל האלגבראות שצפופות במרחב הפונקציות הרציפות על קבוצה קומפקטית.

המשפט מהווה הכללה למשפט הקירוב של ויירשטראס שעוסק באלגברת הפולינומים על קטע ממשי סגור וחסום. משפט סטון-ויירשטראס מאפיין את התכונה היסודית שהופכת את אלגברת הפולינומים לצפופה במרחב הפונקציות הרציפות- הפרדת נקודות.

למשפט תפקיד מרכזי בפיתוח תורת טורי פורייה.

המשפט

אם $K$ הוא מרחב טופולוגי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-$C(K)$ את מרחב הפונקציות הרציפות $\ f:K\to \mathbb {R}$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת $L^{\infty }$. זאת אומרת הנורמה המוגדרת על ידי $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in K}|f(x)|$.

כמו כן, אלגברה היא מרחב וקטורי שמוגדרת בו גם פעולת כפל בין וקטורים. על המרחב $C(K)$ יש מבנה של אלגברה המוגדר על ידי פעולת הכפל הנקודתי של פונקציות. תת-אלגבראות של $C(K)$ היא תת-מרחב וקטורי הסגור לכפל זה.

משפט סטון-ויירשטראס: תת-אלגברה $A\subseteq C(K)$ היא קבוצה צפופה ב-$C(K)$ תחת נורמת $L^{\infty }$, אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. לכל $x\in K$ קיימת פונקציה $f\in A$ כך שמתקיים $f(x)\neq 0$.
2. $A$ "מפרידה נקודות". כלומר לכל $x,y\in K$, אם $x\neq y$ אז קיימת פונקציה $f\in A$ כך שמתקיים $f(x)\neq f(y)$.

גרסה חלשה

לעיתים מחליפים את תנאי 2 בתנאי חזק יותר: האלגברה $A$ מכילה את הפונקציות הקבועות (או באופן שקול את הפונקציה הקבועה 1). כך מתקבלת גרסה חלשה יותר של המשפט. גרסה זו מעט קלה יותר להוכחה (מנקודת מבט של חלק מההוכחות) ושימושית במידה דומה לגרסה החזקה.

גרסה מרוכבת

משפט סטון-ויירשטראס אינו נכון בנסוח זהה עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים. למשל, אלגברת הפונקציות האנליטיות על עיגול היחידה הסגור ב - $\mathbb {C}$ מקיימת את התנאים 1, 2 של המשפט אך איננה צפופה. עם זאת למשפט יש את הגרסה המרוכבת הבאה:

משפט: אם תת-אלגברה $A\subseteq C(K,\mathbb {C} )$ מעל $\mathbb {C}$, מקיימת את התנאים 1,2 למעלה ובנוסף מקיימת:

• לכול $f\in C(K,\mathbb {C} )$ גם ${\bar {f}}\in C(K,\mathbb {C} )$.

אז $A$ היא צפופה ב-$C(K,\mathbb {C} )$ תחת נורמת $L^{\infty }$.

קל להסיק גרסה זאת ממשפט סטון-ויירשטראס.

מסקנות

• אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב $V:=\{f\in C([0,2pi])|f(0)=f(2\pi )$ לפי נורמת $L^{\infty }$.

הוכחה: מגדירים את $K$ להיות מעגל היחידה, ומזהים את $V$ עם $C(K)$ באופן הסטנדרטי. המסקנה נובעת כעת ממשפט סטון-ויירשטראס בקלות.

• גרסה חלשה של משפט פייר: כל פונקציה ב$C(\mathbb {R} )$ בעלת מחזור $2\pi$ ניתן לקרב במידה שווה על ידי פולינומים טריגונומטריים.

הוכחה: נובעת מהמסקנה הקודמת

• עבור $1<p<\infty$ אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב $L^{p}([0,2\pi ])$, תחת נורמת $L^{p}$, כלומר הנורמה $\|f\|=\int _{0}^{2\pi }f^{p}(x)\,dx$.

הוכחה: מהמסקנה הראשונה נובע שאלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה ב - $V$ לפי נורמת $L^{p}$. קל לראות שמרחב זה צפוף ב - $L^{p}([0,2\pi ])$.

• משפט הקירוב של ויירשטראס: מרחב הפולינומים צפוף במרחב $C([a,b])$ לפי נורמת $L^{\infty }$.
• עבור קומפקט $K\subset \mathbb {R} ^{n}$, מרחב הפולינומים צפוף במרחב $C(K)$ לפי נורמת $L^{\infty }$.
• עבור קומפקט $K\subset \mathbb {R} ^{n}$, מרחב הפולינומים צפוף במרחב $L^{p}(K)$ לפי נורמת $L^{\infty }$.
• עבור קומפקט $K\subset \mathbb {R} ^{n}$, המרחבים $L^{p}(K)$ ו- $C(K)$ ספרביליים.
• עבור קומפקטים $K,L$ ניתן לקרב כל פונקציה ב-$C(K\times L)$ על ידי קומבינציה ליניארית (סופית) של פונקציות מהצורה $f\boxtimes g$. כאשר $f\in C(K);g\in C(L);$. נזכיר ש $f\boxtimes g\in C(K\times L)$ מוגדרת על ידי $f\boxtimes g(x,y)=f(x)g(y)$

הוכחה

הכיוון שבו אם $A$ צפופה אז מתקיימים שני תנאי המשפט הוא פשוט יחסית: אם $A\in C(K)$ אלגברה צפופה, אז יש בה פונקציה קרובה כרצוננו לפונקציה הקבועה $f=1$. קל לראות שפונקציה מספיק קרובה ל-$f$ לא תתאפס באף נקודה ולכן מתקיים התנאי הראשון. כמו כן, בהינתן זוג נקודות $a,b\in K$ ניתן מהלמה של אוריסון למצוא פונקציה $g$ ב-$C(K)$ שמפרידה את $a$ ו- $b$ (אם נתונה על $K$ מטריקה $d$ אז ניתן לקחת את הפונקציה $g(x)={\frac {d(x,a)}{d(a,b)}}$).ומצפיפות $A$ נובע שקיימת בה פונקציה קרובה כרצוננו ל-$g$, ופונקציה קרובה מספיק תפריד את הנקודות.

הכיוון שבו מראים כי אם מתקיימים שני תנאי המשפט אז האלגברה צפופה, הוא מורכב יותר וזה עיקר המשפט.

נסמן ב - ${\bar {A}}$ את הסגור של - $A$ לפי נורמת $L^{\infty }$. יש הוכיח ${\bar {A}}=C(K)$. נוכיח זאת במספר שלבים:

1.	${\bar {A}}$ היא אלגברה (זאת אומרת שהיא סגורה לכפל, חיבור וכפל בסקלר).  הוכחה: נובע מיידית מכך ש - ${\bar {A}}$ היא אלגברה ומרציפות פעולות הכפל החיבור והכפל בסקלר.
2.	הפונקציה $x\mapsto |x|$ ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים בכל קטע סופי.  הוכחה: נובע ממשפט הקירוב של ויירשטראס. ניתן גם להראות טענה זו ישירות על ידי קירוב מפורש. למעשה חלק מההוכחות של משפט הקירוב של ויירשטראס מתבססות על טענה זאת.
3.	לכל $h\in {\bar {A}}$ גם $|h|\in {\bar {A}}$.  הוכחה: לפי משפט ויירשטראס $h$ חסומה. לכן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש $|h|<1$. הטענה נובעת כעת מהשלב הקודם. פולינומים על ידי הצבה של $h$ בפולינומים המקרבים של $|x|$ בקטע $[-1,1]$.
4.	${\bar {A}}$ סגורה סריגית. זאת אומרת שעבור כל $f,g\in B$ הפונקציות $\max {f,g},\min {f,g}$, המוגדרות נקודתית, שייכות גם הן ל- ${\bar {A}}$.  הוכחה: קל לראות שמתקיימים השוויונים הנקודתיים הבאים:$\max {f,g}={1 \over 2}\cdot (f+g)+{1 \over 2}\cdot |f-g|$$\min {f,g}={1 \over 2}\cdot (f+g)-{1 \over 2}\cdot |f-g|$הטענה נובעת כעת מהשלב הקודם.
5.	לכל זוג נקודות $a,b\in K$ קיימת פונקציה $f\in {\bar {A}}$ כך שמתקיים $f(a)\neq 0$ וגם $f(b)\neq 0$ וגם $f(a)\neq f(b)$.  הוכחה: מהנתון כי $A$ "מפרידה נקודות" נובע שקיימת $f\in A$ המקיימת $f(a)\neq f(b)$. נניח בשלילה ללא הגבלת הכלליות כי $f(a)=0$. מקיום התנאי הראשון במשפט נובע שקיימת $g\in A$ המקיימת $g(a)\neq 0$, ולכן לכל $0<r$ מתקיים כי $(f+r\cdot g)(a)\neq 0$, ונבחר $r$ מספיק קטן כדי שיתקיים במקביל גם $(f+r\cdot g)(b)\neq 0$.
6.	לכל זוג נקודות $a,b\in K$ ולכל זוג מספרים $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ קיימת פונקציה $f\in {\bar {A}}$ כך שמתקיים $f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$.  הוכחה: נבחר $f$ כמו בשלב הקודם. נשים לב שמהיות $A$ אלגברה נובע כי היא מכילה כל פולינום ריבועי ב-$f$ מהצורה $\lambda f^{2}+\mu f$. אם-כך כדי שיתקיים התנאי המבוקש נצטרך לפתור את מערכת המשוואות:$\lambda f^{2}(a)+\mu f(a)=\alpha$$\lambda f^{2}(b)+\mu f(b)=\beta$אלו שתי משוואות בשני נעלמים ולכן קיים להן פתרון אם ורק אם הדטרמיננטה שונה מ-0. כלומר $$f^{2}(a)f(b)-f(a)f^{2}(b)=f(a)f(b)[f(a)-f(b)]\neq 0$$ זה נובע מההנחות על $f$ הנתונות על ידי בשלב הקודם.
7.	עבור $\epsilon >0$, $f\in C(K)$ ו- $a\in K$ קיימת $g_{a}\in {\bar {A}}$ כך ש: $g_{a}(a)=f(a)$ ו - $\forall x\in K.g_{a}(x)>f(x)-\epsilon$.  הוכחה: מהשלב הקודם נובע שעבור כל $a,b\in K$ קיימת פונקציה $g_{a,b}\in {\bar {A}}$ מתאימה המקיימת עבור הסקלרים $f(a),f(b)$ כי $g_{a,b}(a)=f(a),g_{a,b}(b)=f(b)$. מרציפות הפונקציות $f,g_{a,b}$ נובע שעבור ה-$\epsilon$ הנתון, לכל נקודה $b\in K$ קיימת סביבה פתוחה שנסמן $U_{a,b}\subseteq K$ של $b$, כך שלכל $x\in U_{a,b}$ מתקיים כי $|g_{a,b}(x)-f(x)|<\epsilon$. אם נתבונן ב-$b$ כמשתנה, אז הקבוצה $\left\{U_{a,b}\right\}_{b\in K}$ היא כיסוי פתוח של $K$, ומהקומפקטיות של המרחב נובע שקיים תת-כיסוי סופי מהצורה $\left\{U_{a,b_{i}}\right\}_{i=1}^{n}$. נגדיר את הפונקציה $g_{a}(x)=\max _{1\leq i\leq n}\left\{g_{a,b_{i}}(x)\right\}$, מהשלב הרבעי נובע כי היא שייכת ל-${\bar {A}}$. כמו כן מתקיים גם $g_{a}(a)=f(a)$ וגם $g_{a}(x)>f(x)-\epsilon$.
8.	${\bar {A}}=C(K)$.  הוכחה: תהי $f\in C(K)$ ויהי $0<\epsilon$. נבצע תהליך דומה לשלב [דרושה הבהרה]עבור $a$ כמשתנה: מרציפות הפונקציות $f,g_{a}$ נובע שעבור ה-$\epsilon$ הנתון, לכל נקודה $a\in K$ קיימת סביבה פתוחה שנסמן $V_{a}\subseteq K$ של $a$, כך שלכל $x\in V_{a}$ מתקיים כי $g_{a}(x)<\epsilon +f(x)$. אם נתבונן ב-$a$ כמשתנה, אז הקבוצה $\left\{V_{a}\right\}_{a\in K}$ היא כיסוי פתוח של $K$, ומהקומפקטיות של המרחב נובע שקיים תת-כיסוי סופי מהצורה $\left\{V{a_{j}}\right\}_{j=1}^{m}$. נגדיר את הפונקציה $g(x)=\min _{1\leq j\leq m}\left\{g_{a_{j}}(x)\right\}$, גם היא שייכת לקבוצה ${\bar {A}}$ מסגירותה הסריגית. מכל הנתונים נובע שלכל $x\in K$ מתקיים כי $f(x)-\epsilon <g(x)<g_{a}(x)<f(x)+\epsilon$, כלומר $|f(x)-g(x)|<\epsilon$. מכאן, ומהסגירות של ${\bar {A}}$ נובע ש - $f\in {\bar {A}}$.

היסטוריה

{{{ביאורי תמונה}}}

קרל ויירשטראס - הוכיח מקרה פרטי יסודי של המשפט בשנת 1885

• בשנת 1885 הוכיח קרל ויירשטראס את משפט הקירוב שלו. זהו מקרה פרטי חשוב של משפט סטון-ויירשטראס והוכחת משפט סטון-ויירשטראס מתבססת על מקרה זה.
• בשנת 1937 הכליל מרשל סטון את משפט ויירשטראס והוכיח קריטריון לצפיפות עבור אלגבראות פונקציות על קומפקטים. קריטריון זה היה מורכב יותר מהנסוח המודרני של משפט סטון-ויירשטראס. כבר בהוכחה של קריטריון זה, זיהה סטון את העבודה שאפשר לקרב את $|f|$ על ידי פולינומים ב-$f$ ואת החשיבות של עובדה זו לטובת הוכחת צפיפת של אלגבראות פונקציות.
• בשנת 1948 הוכיח מרשל סטון את הגרסה המודרנית של משפט סטון-ויירשטראס.

ראו גם

• משפט הקירוב של ויירשטראס
• משפט פייר

לקיאה נוספת

• Holladay, John C. (1957), "The Stone–Weierstrass theorem for quaternions" (PDF), Proc. Amer. Math. Soc., 8: 656, doi:10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
• Louis de Branges (1959), "The Stone–Weierstrass theorem", Proc. Amer. Math. Soc., 10 (5): 822–824, doi:10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7.
• Jan Brinkhuis & Vladimir Tikhomirov (2005) Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press מסת"ב 978-0-691-10287-0 תבנית:Mr.
• Glimm, James (1960), "A Stone–Weierstrass Theorem for C*-algebras", Annals of Mathematics, Second Series, 72 (2): 216–244, doi:10.2307/1970133, JSTOR 1970133
• Glicksberg, Irving (1962), "Measures Orthogonal to Algebras and Sets of Antisymmetry", Transactions of the American Mathematical Society, 105 (3): 415–435, doi:10.2307/1993729, JSTOR 1993729.
• Rudin, Walter (1976), Principles of mathematical analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
• Rudin, Walter (1973), Functional analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8.
• JG Burkill, Lectures On Approximation By Polynomials (PDF).

עבודות היסטוריות

• K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).

זמין ב - Berlin Brandenburgische Akademie der Wissenschaften

• Erste Mitteilung (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (part 2) pp. 789–805.

• Stone, M. H. (1937), "Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology", Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3): 375–481, doi:10.2307/1989788, JSTOR 1989788
• Stone, M. H. (1948), "The Generalized Weierstrass Approximation Theorem", Mathematics Magazine, 21 (4): 167–184, doi:10.2307/3029750, JSTOR 3029750, MR 0027121; 21 (5), 237–254.