משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ עבור קטע ממשי $[a,b]$ סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על $[a,b]$ המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום $[a,b]$ כלשהו, מסמנים ב-$C([a,b])$ את מרחב הפונקציות הרציפות $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת $L$-אינסוף": $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$. לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת $L$-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי $[a,b]$ צפוף במרחב $C([a,b])$ תחת נורמת $L$-אינסוף.

מסקנה: המרחב $C([a,b])$ הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.

הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב $C([a,b])$.

הוכחה

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב $C([a,b])$.

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה $p_{k}(x,n)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$. קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

$\sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^{n}=1$

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל $0<\delta$ מתקיים אי השוויון:

$\sum _{|{k \over n}-x|\geq \delta }p_{k}(x,n)\leq {1 \over n\delta ^{2}}$.

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה $f:[0,1]\to \mathbb {R}$, לכל $0<\epsilon$ קיים פולינום $g$ מתאים כך שמתקיים $\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|<\epsilon$.

אם כך, בהינתן פונקציה $f$ כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום $B_{n}(f(x))=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)$. נראה שלכל $0<\epsilon$, לכל n מספיק גדול מתקיים כי $\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-B_{n}(x)|<\epsilon$.

יהי $0<\epsilon$. נזכור שהפונקציה $f$ רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי $M\in \mathbb {R}$ כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל $0<\epsilon$, בפרט עבור ${\epsilon \over 2}$ הנתון, קיים $0<\delta$ מתאים כך שלכל $x,y\in [a,b]$ אם $|x-y|<\delta$ אז $|f(x)-f(y)|<{\epsilon \over 2}$. נחשב:

$|B_{n}(f(x))-f(x)|=|\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)-f(x)|=$

$=|\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)-f(x)\cdot \sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)|=$

$=|\sum _{k=0}^{n}\left[f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right]\cdot p_{k}(x,n)|\leq \sum _{k=0}^{n}\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)=$

$=\sum _{|{k \over n}-x|<\delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)+\sum _{|{k \over n}-x|\geq \delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)<$

$<\sum _{|{k \over n}-x|<\delta }{\epsilon \over 2}\cdot p_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}\leq$

$\leq {\epsilon \over 2}\cdot \sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}={\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}$

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על $[0,1]$, שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:

$|B_{N}(f(x))-f(x)|<{\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over N\delta ^{2}}<\epsilon$

קישורים חיצוניים

• משפט הקירוב של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)