משפט הקירוב של ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה עבור קטע ממשי סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת -אינסוף": . לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת -אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי צפוף במרחב תחת נורמת -אינסוף.
מסקנה: המרחב הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.
הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב .

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה .[1] קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל מתקיים אי השוויון:[2]

.

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה ,[3] לכל קיים פולינום מתאים כך שמתקיים .

אם כך, בהינתן פונקציה כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום . נראה שלכל , לכל n מספיק גדול מתקיים כי .


יהי . נזכור שהפונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל , בפרט עבור הנתון, קיים מתאים כך שלכל אם אז . נחשב:

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על , שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי מפולג בינומית .
  2. ^ שוויון זה הוא יישום של אי-שוויון צ'בישב להתפלגות בינומית.
  3. ^ כל קטע ממשי סגור וחסום הוא הומאומורפי לקטע [0,1].