נוסחת לז'נדר

בתורת המספרים, נוסחת לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר; נקראת גם נוסחת דה פוליניאק על שם אלפונס דה פוליניאק) קובעת את הפירוק לגורמים ראשוניים של $n!$, כאשר הסימן "$!$" מסמן את פעולת העצרת:

$n!=\prod _{p\,\leq \,n}p^{a},\quad a=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$

כאשר $p$ מספר ראשוני ו-$\lfloor {x}\rfloor$ היא פונקציית הערך השלם (עיגול כלפי מטה).

בניסוח שקול, הנוסחה קובעת שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני $p$ המחלקת את $n!$ הוא $\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$. הסכום האינסופי לכאורה הוא למעשה סכום סופי, שכן החל משלב מסוים כל איברי הסכום מתאפסים משום של-$p^{k}>n$ מתקיים $\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =0$.

הוכחה

"$n$ עצרת" הוא מכפלת המספרים מ-1 עד $n$:

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$

לכן המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני $p$ המחלקת אותו הוא סכום המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של $p$ המחלקות כל אחד מהמספרים מ-1 עד $n$.

לכל ראשוני $p$, אנחנו יודעים כי $p$ מחלק בדיוק $\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor$ מספרים מ-1 עד $n$ שכן כפולותיו הן $p,2p,3p,\ldots ,\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor p$.

ביניהם $\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor$ מספרים שמתחלקים אפילו ב-$p^{2}$, ולכן יש לספור אותם פעם נוספת.

ובאופן כללי, יש ביניהם בדיוק $\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$ המתחלקים ב-$p^{k}$, ויש לספור אותם שוב. נסכום את כל המקרים יחדיו ונקבל שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא $V_{p}(n!)=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$.

דוגמה

נמצא כמה אפסים מופיעים בסוף הכתיב העשרוני של המספר $199!$. מספר האפסים שווה למעריך של החזקה הגבוהה ביותר של 10 המחלקת את $199!$. הפירוק לגורמים של חזקות של 10 הוא $10^{m}=2^{m}\cdot 5^{m}$. לכן המעריך המבוקש יהיה הקטן מבין המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של הראשוניים 2 ו-5 המחלקות את $199!$. ברור כי המעריך הגבוה יותר מבין השניים הוא זה של 2 (שכן הוא מחלק יותר מספרים בין 1 ל-199) ולכן מספיק למצוא את המעריך של 5. לפי הנוסחה המעריך הוא:

$\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {199}{5^{k}}}\right\rfloor =39+7+1+0+0+\cdots =47$

מכאן שהמספר $199!$ מסתיים ב-47 אפסים.

ניסוח שקול

נסמן ב-$S_{p}(n)$ את סכום הספרות של $n$ בבסיס $p$. ניסוח שקול לנוסחת לז'נדר קובע שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא ${\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}$.

הוכחה

נציג את $n$ בבסיס $p$:

$n=a_{r}p^{r}+a_{r-1}p^{r-1}+\cdots +a_{1}p+a_{0}\quad ;\quad a_{r},\ldots ,a_{0}<p$

כעת נשים לב כי

$\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a_{r}p^{r}+\cdots +a_{0}}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}+a_{k-1}p^{-1}+\cdots +a_{0}p^{-k}\right\rfloor =a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}$

זאת מכיוון ש-$a_{k-1}p^{-1}+\cdots +a_{0}p^{-k}<1$. מכאן לפי נוסחת לז'נדר המעריך של חזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא:

$\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\sum _{k\,=\,1}^{\infty }(a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k})=$

נבחין כי בטור האחרון לכל $1\leq i\leq r$, המקדם $a_{i}$ מופיע פעם אחת בדיוק כמקדם של כל אחד מבין $1,p,\ldots ,p^{i-1}$. לכן נוכל לסדר מחדש את הטור האחרון בצורה:

$=\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}(1+p+\cdots +p^{i-1})=\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}{\frac {p^{i}-1}{p-1}}={\frac {1}{p-1}}\left(\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}p^{i}-\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}\right)={\frac {(n-a_{0})-(S_{p}(n)-a_{0})}{p-1}}={\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}$

במעבר הראשון עשינו שימוש בנוסחה לסכום טור הנדסי.

שימושים

מקדם בינומי ${\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$ שווה למספר התת-קבוצות מגודל $r$ שיש לקבוצה בגודל $n$. מכאן שהוא בהכרח מספר שלם. עם זאת, זוהי הוכחה קומבינטורית לטענה, ואילו נוסחת לז'נדר מספקת הוכחה אלמנטרית לטענה (כזו המסתמכת רק על תכונות מספרים).

פונקציית הערך השלם מקיימת את האי-שוויון הטריוויאלי $\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor$. לכן מתקיים:

$\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {r}{p^{k}}}\right\rfloor +\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n-r}{p^{k}}}\right\rfloor \leq \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$

לפי נוסחת לז'נדר אגף ימין הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$, בעוד אגף שמאל הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $r!(n-r)!$. מהאי-שוויון אנו מסיקים שלכל חזקת ראשוני בפירוק של $r!(n-r)!$ לגורמים, כפולה שלו מופיעה בפירוק של $n!$, ולכן $n!$ מתחלק ב-$r!(n-r)!$, כלומר ${\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$ מספר שלם.

לפי נוסחת לז'נדר המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את ${\binom {2n}{n}}$ הוא $\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {2n}{p^{k}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)$, עובדה המשמשת בהוכחה האלמנטרית של פאול ארדש להשערת ברטראן.