עקרון הויגנס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שבירת גלים על פי עקרון הויגנס

עקרון הויגנס (ידוע גם כעקרון הויגנס-פרנל) קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב. העקרון נוסח על ידי כריסטיאן הויגנס ואוגוסטן ז'אן פרנל. על עקרון זה מבוסס הניתוח המתמטי של תופעת העקיפה כמו בניסוי שני הסדקים של תומאס יאנג. באמצעות עקרון זה ניתן גם להסביר תופעות התאבכות נוספות ושבירה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1678, הויגנס הציע כי כל נקודה אליה מגיעה הפרעה אורית הופכת למקור של גלים כדוריים; הסיכום של כל הגלים המשניים האלו קובע את צורת הגל בכל רגע נתון. הוא הניח שהגלים המשניים נעים פחות או יותר רק בכיוון "חזיתי", אולם לא הסביר לפי התאוריה שלו מדוע זה כך. הוא היה מסוגל לתת הסבר איכותי להתקדמות גלים קווית וכדורית, ולגזור את חוקי ההחזרה והשבירה באמצעות העיקרון הזה, אבל לא יכל להסביר את הסטיות מתנועה ישרה המתרחשות כאשר אור פוגש בפינות, מפתחים ומסכים, אפקטים שזכו לשם "תופעות עקיפה". את הסיבה לשגיאה הזאת שלו הסביר David A.B. Miller ב-1991; הפתרון הוא שמקור הגלים הוא דיפול (ולא המונופול שהויגנס הניח), אשר מתקזז בכיוון המוחזר[דרושה הבהרה].

ב-1818, פרנל הראה שעקרון הויגנס יחד עם עקרון ההתאבכות שלו יכולים להסביר הן את ההתקדמות הקווית של אור והן את תופעות העקיפה. כדי להשיג התאמה עם תוצאות ניסוייות, הוא היה חייב לכלול בתאוריה שלו הנחות שרירותיות נוספות על הפאזה והמשרעת של הגלים המשניים, כמו גם גורם הטיה (obliquity factor). להנחות הללו לא היה בסיס פיזיקלי מוצק אולם הן הובילו לתחזיות שהסכימו עם תצפיות ניסוייות, כמו כתם אראגו (Arago spot).

פואסון היה חבר באקדמיה הצרפתית, אשר בחנה את עבודתו של פרנל. הוא נעזר בתאוריה של פרנל כדי להסיק שאמור להופיע כתם בהיר במרכז הצל של דיסקה קטנה, והסיק מכך שזה לא נצפה שהתאוריה הייתה שגויה. מאוחר יותר, אראגו, חבר אחר בוועד השופטים, ערך את הניסוי והראה שהתחזית נכונה. זו הייתה אחת החקירות שהובילו לניצחון התאוריה הגלית על פני התאוריה החלקיקית של האור, שהייתה דומיננטית במאה שעברה.

נוסחת העקיפה של קירכהוף סיפקה מסגרת מתמטית ריגורוזי לעקיפה, המתבססת על משוואת הגלים. ההנחות השרירותיות אותן עשה פרנל כדי להגיע לניסוח המתמטי של עקרון הויגנס צצות באופן טבעי מהמתמטיקה של תורת העקיפה של קירכהוף.

הניסוח המתמטי של העקרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

המחשה גאומטרית לחישוב של פרנל.

נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה P0, המייצר גלים בתדירות f. את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב U0, הנקרא גם משרעת מרוכבת. הוא מפיק גלים כדוריים עם אורך גל λ ומספר גל k = 2π/λ. המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה Q הממוקמת במרחק r0 מהנקודה P0 ניתנת בביטוי:

מכיוון שהמשרעת קטנה ביחס הפוך למרחק ממקור הגל, והפאזה משתנה לפי מכפלת מספר הגל k במרחק מהמקור.

באמצעות התאוריה של הויגנס ועקרון הסופרפוזיציה של גלים, המשרעת המרוכבת בנקודה מרוחקת יותר P נמדדת על פי סיכום התרומות מכל נקודה על פני הכדור ברדיוס r0. כדיי להשיג התאמה עם תצפיות ניסוייות, פרנל מצא שהתרומות מהגלים המשניים שנוצרים מנקודות על פני הכדור חייבים להיות מוכפלים בקבוע (כאשר ), ובפקטור הטיה נוסף (K(χ. ההנחה הראשונה פירושה שהגלים המשניים נמצאים ברבע מחזור גל "מחוץ לפאזה" ביחס לגל הראשי, ושהמשרעת של הגלים המשניים היא ביחס של עם משרעת הגל הראשי. הוא הניח גם של-(K(χ יש ערך מרבי כאשר χ = 0, וערך מאופס כאשר χ = π/2. המשרעת המרוכבת ב-P ניתנת על כן בנוסחה:

כאשר S מתאר את פני השטח של הכדור, ו-s הוא המרחק בין Q ל-P.

ההנחות השונות שעשה פרנל צצות אוטומטית בנוסחת העקיפה של קירכהוף, אשר ניתן לראות את עקרון הויגנס-פרנל כקירוב לה. עם זאת, התוצאה של קירכהוף נבדלת מזו של פרנל בפקטור ההטיה (K(χ:

ל-K יש מקסימום ב-χ = 0 כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, K לא שווה לאפס כאשר χ = π/2. נוסחת קירכהוף מסבירה מדוע בכלל גלים מתקדמים בכיוון מוגדר מסוים - כאשר χ = π מקבלים 0 = (K(χ, כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור.

עקיפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עקיפה בסדק יחיד

בניסויי עקיפה, גל מישורי פוגע במחסום בעל מיפתח בצורה כלשהי, ונמדדת תבנית הגל על מסך שנמצא בעברו השני של המחסום. לפי עקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו שמתקבלת מאוסף של מקורות נקודתיים הממלאים את המפתח. כתוצאה מכך מגיע הגל גם לאזורים שמעבר למחסום, אזורים שבהם לפי אופטיקה גאומטרית לא מגיעות קרניים הנעות בקווים ישרים.

תיאור מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשוואה שמקיים גל ממקור נקודתי היא משוואת הלמהולץ הלא-הומוגנית:

כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק התלת-ממדית, המתאפסת בכל המרחב פרט לנקודה . הגל המונוכרומטי התלוי בזמן שפותר את משוואת הגלים מתקבל על ידי הכפלת בפונקציה . מאחר שפונקציית דלתא תלויה רק במרחק מהראשית ולא בזווית המרחבית, לאחר החלפת המשתנים ניתן להשתמש רק בחלק הרדיאלי של אופרטור הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות:

כאשר . המשוואה הופכת להיות:

מאחר שהפונקציה R מתאפסת בנקודה היחידה שבה פונקציית דלתא איננה מתאפסת, אגף ימין של המשוואה מתאפס זהותית. פתרון המשוואה בקואורדינטות המקוריות הוא:

זהו גל כדורי הבוקע מהנקודה . את קבוע הפרופורציה ניתן למצוא באמצעות תנאי שפה. בנוסף, הפונקציה שהתקבלה היא לפי הגדרה פונקציית גרין של המשוואה. לפי משפט גרין, גל שנוצר ממקור דו-ממדי שאינו נקודתי ניתן לחישוב באמצעות פונקציה זו על ידי האינטגרל המשטחי:

כאשר מקור הגל, הזווית בין וקטור השטח האינפיניטסימלי לבין הווקטור והאינטגרל הוא על המשטח המחולל את הגל. אינטגרל זה מבטא את הגל הנצפה כסופרפוזיציה של גלים כדוריים הבוקעים מנקודות שונות על פני משטח בפרט, אם במישור z=0 ניצב מחסום שלאחריו מתקבל הגל: , אז על מסך במרחק z מתקבלת תבנית העקיפה:

שבירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר גל מישורי פוגע במישור הפרדה בין שני חומרים, הוא מעורר אוסף של גלים כדוריים ממקורות נקודתיים שממלאים את מישור ההפרדה. מהירות האור בחומר דיאלקטרי יחסית למקדם השבירה שלו. לכן, אם שני החומרים הם בעלי מקדמי שבירה שונים חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחד יתקדם במהירות שונה מאשר חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחר. כתוצאה מכך תיווצר זווית בין הכיוון המאונך לחזית הגל הפוגע לבין זה של הגל הנשבר, אותה ניתן לחשב משיקולים גאומטריים ולקבל את חוק סנל.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 3

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]