שיחה:משוואה ממעלה שלישית

ניראה מעניין, אבל נדמה לי שיש כמה תיקונים לעשות. רציתי לקבל קצת יותר אינפורמציה מ - wikipedia באנגלית. לא כל כך הצלחתי לימצוא. קישור יעזור. תודה. אורי מוסנזון 21:25, 12 דצמ' 2004 (UTC)

מצאתי, הוספתי את הקישור אבל זה סתם קצרמר וזה לא עזר.

או שלא הבנתי נכון, או שתחת הכותרת "פתרון משוואה ממעלה שלישית" ניתנה דרך לפתרון של חלק מהמשוואות האלו בלבד (אלו שאין בהן מקדם של x בריבוע). רונן א. קידר 22:40, 12 דצמ' 2004 (UTC)

ראה השורה השניה במאמר. בכל אופן אני מוסיף הערה בנושא. עוזי ו.

סליחה, אכן לא קראתי מספיק בפירוט. אבל טוב שהוספת עוד שורת הסבר, אחרת זה "מסתתר" קצת לקורא האקראי. רונן א. קידר 08:40, 13 דצמ' 2004 (UTC)

גם אחרי שקראתי את כל המאמר לא הבנתי בכלל איך אני פותר משוואה פשוטה כמו x^3+x^2+x+1=0, הסיפור עם המאפיין הוא מאוד מבלבל ורצוי מאוד לתת פשוט דוגמא פשוטה של מה עושים עם הפתרון. טרול רפאים 02:47, 7 ינו' 2005 (UTC)

(במשוואה הזו מנחשים את הפתרונות: $\ -1,\pm i$...) מכיוון שאתה רוצה פתרון מעל השדה הרציונלי, המאפיין הוא אפס ואפשר להתעלם ממנו. הצב $\ y=x-1/3$ כדי לקבל משוואה בלי גורם ריבועי, והמשך לפי הפסקה על פתרון המשוואה. עוזי ו. 15:59, 29 אפר' 2005 (UTC)

אני לא בטוח כאן, אבל אני חושב שאתה מתכוון ל$\!\,x=y-a/3$, כי אחרת הגורם הריבועי לא נעלם...

(לא, התייחסתי למשוואה שעליה נשאלתי).

בדוגמה שניתנת במאמר לפתרון משוואה ממעלה שלישית, יש קטע שלא מובן (לי לפחות). השלב שבו המשוואה עוברת ממשוואה עם איקסים למשוואה עם בטאות (בטא). לא ברור מאיפה זה הגיע ואיך הגיעו לזה. מישהו מוכן להסביר? TUCG 18:17, 21 פברואר 2006 (UTC)

כתוב: "נכתוב x=beta+gamma ונציב". בשביל "איך הגיעו לזה" צריך להעלות באוב את ניקולו טרטליה. עוזי ו. 03:17, 28 פברואר 2006 (UTC)

אתה אומר לי שהציבו את ה-x=beta+gamma לתוך המשוואה עם האיקסים ויצאה משוואה עם בטאות ? ניסיתי לעשות את זה ולא יצא לי אותו דבר. TUCG 12:12, 2 מרץ 2006 (UTC)

הוספתי הסבר, ואני מקווה שעכשיו ברור יותר. תודה על ה"עקשנות". עוזי ו. 18:59, 2 מרץ 2006 (UTC)

תודה רבה, עכשיו זה מובן יותר. מה שכן, כל המאמר הזה נראה כמו סיפור או מעשיה על איך לחשב משוואה ממעלה שלישית. אני חושב שראוי להחליף את כל הסיפור הזה בנוסחה ברורה לפתירה של המשוואה ממעלה III. כמובן שראוי לכתוב כיצד הגיעו לנוסחה הזו, לדעתי, אבל אני חושב שרוב המאמר צריך להיות בעל אופי מתמטי. אה, והנה הנוסחה בצורתה ה"טהורה" (הלא נעימה בעליל): http://planetmath.org/encyclopedia/CubicFormula.html. TUCG 17:49, 4 מרץ 2006 (UTC)

חס ושלום. הנוסחה היא נוראית. כשרוצים ללמד מישהו איך פותרים משוואה ממעלה שלישית, לא אומרים לו "הנה הנוסחה, תציב". היחיד שילמד משהו מהדרך הזו הוא מחשב. גדי אלכסנדרוביץ' 17:55, 4 מרץ 2006 (UTC)

נו, ואחרי שלמדת איך לפתור את המשוואה הזו, אתה תמשיך להתעסק עם התהליך המעצבן הזה עם כל משוואה ממעלה שלישית? לא, אתה תציב לנוסחה כמו כל ילד טוב. TUCG 19:46, 4 מרץ 2006 (UTC)

מנסיון - כן, אני אמשיך להתעסק עם התהליך ה(לא כל כך מעצבן ודי פשוט)זה, ולא אסתבך עם הנוסחה הנוראית. בפרט, הטריק הבסיסי שמחסל את הגורם הריבועי הוא הכרח. גדי אלכסנדרוביץ' 19:54, 4 מרץ 2006 (UTC)

סבבה. אני בינתיים אציב את המקדמים של המשוואה למחשב תוך שניות ספורות ואמשיך הלאה. TUCG 20:15, 4 מרץ 2006 (UTC)

כמו שאמרתי למעלה, היחיד שילמד משהו מ"הנה הנוסחה, תציב" הוא המחשב. במבחנים (כן, גם זה קורה לסטודנטים לפעמים) זה לא יעזור לך, וגם לא כשאתה צריך לעבוד עם פרמטרים ולא עם מספרים. על פי עקרון דומה, אין טעם ללמד בכלל איך מגיעים לתוצאות באנליזה נומרית אלא חשובה רק הנוסחה שמכניסים למחשב בסוף. גדי אלכסנדרוביץ' 20:25, 4 מרץ 2006 (UTC)

תוכנה שלא מסוגלת לחשב פרמטרית ולא רק נומרית = תוכנה פרימיטיבית ונחותה. הנוסחה אומנם נראית מסובכת אבל בסופו של דבר רק צריך לזכור חלק קטן ממנה ולדעת מתי להפוך את המינוס לפלוס ואת הפלוס למינוס. אם תשים לי את שתי השיטות על דף אחד, יקח לי 10 דקות לשנן את הנוסחה שלי ו-30 דקות להבין את השיטה שלך. אז הנוסחה שלי משתלמת ביותר. TUCG 20:29, 4 מרץ 2006 (UTC)

לעניות דעתי, הנוסחה המלאה לא תזיק, במיוחד אם תבוא בנוסף לפיתוח. ולו כדי להראות את ההבדל האיכותי בין פתרון משוואות ממעלה שלישית למשוואות ממעלה שנייה. מארק ברלין 20:30, 4 מרץ 2006 (UTC)

גם לדעתי כדאי להוסיף אותה בסוף הערך, למען יראו וייראו. גדי אלכסנדרוביץ' 21:25, 4 מרץ 2006 (UTC)

האם אפשר לפתור משוואות ממעלה שלישית רק כאשר המקדם שלאיקס בשלישית הוא 0??

התלבטות לגבי שם הערך

משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת? - שני השמות תקינים. א&ג מלמד כץ • שיחה 13:25, 11 בדצמבר 2007 (IST)

העברנו. מלמד כץ • שיחה 17:47, 30 בדצמבר 2007 (IST)

אני לא חושב שזו החלטה מוצלחת. ראשית, אם מעבירים, חובה להעביר גם את "משוואה ממעלה שניה" ל"משוואה ריבועית"; אבל מה עושים במשוואה ממעלה רביעית? שנית, היסטורית חשבו על חזקה שניה של הנעלם כמייצגת שטח, ועל חזקה שלישית כמייצגת נפח (דווקא), וכן הלאה. מנקודת מבט מודרנית, מדובר בסך-הכל בפעולת כפל חוזרת (שיש לה משמעות מעל כל שדה). באנגלית קוראים למשוואה הזו cubic equation (ואפשר למצוא גם cubic curves ו- cubics), ולצידם quadric equation, ממעלה רביעית. לביטוי האחרון אין תרגום מוצלח לעברית, ולכן הייתי מוותר גם על תרגום ה- cubic ל"מעוקבת". עוזי ו. 18:46, 30 בדצמבר 2007 (IST)

גם לי נראה כי ההעברה אינה מוצלחת. עדיף להשתמש ב"משוואה ממעלה שלישית" המוכרת והטובה, ולא ב"משוואה מעוקבת" שכמעט לא שמעו עליה. בברכה, אבינעם 08:55, 31 בדצמבר 2007 (IST)

קישור שבור

במהלך מספר ריצות אוטומטיות של הבוט, נמצא שהקישור החיצוני הבא אינו זמין. אנא בדקו אם הקישור אכן שבור, ותקנו אותו או הסירו אותו במקרה זה!

• http://www.sbc.co.il/galileo/full/Algebra1548.pdf
  • In ג'ירולמו קרדאנו on 2011-11-22 21:15:52, 404 Not Found
  • In משוואה ממעלה שלישית on 2011-11-23 01:48:14, 404 Not Found
  • In ג'ירולמו קרדאנו on 2011-11-27 23:22:42, 404 Not Found
  • In משוואה ממעלה שלישית on 2011-11-28 00:46:43, 404 Not Found
  • In ג'ירולמו קרדאנו on 2012-01-20 03:09:47, 404 Not Found
  • In ג'ירולמו קרדאנו on 2013-05-03 19:31:39, Socket Error: 'Name or service not known'
  • In משוואה ממעלה שלישית on 2013-05-04 14:42:48, Socket Error: 'Name or service not known'

--Matanyabot - שיחה 17:43, 4 במאי 2013 (IDT)

פישוט רדיקלים

― הועבר מהדף ויקיפדיה:הכה את המומחה

במסגרת ניסיונות ללמוד על משוואות ממעלה שלישית, כתבתי לעצמי משוואה $x^{3}+12x=32$ שפתרונה $2$. על-ידי שימוש בנוסחא/תבנית $(A-B)^{3}+3AB(A-B)=A^{3}-B^{3}$ הגעתי כמובן לחילוץ הפתרון $x=(A-B)=2\cdot {\sqrt[{3}]{2\pm {\sqrt {5}}}}-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{2\pm {\sqrt {5}}}}}=2$.

האם מישהו יודע כיצד ניתן לפשט את כל המשוואה הזו אלגברית וללא מחשבון כך שבסופו של דבר הכל יצטמצם ויתקבל $2$? איש הסילונים - שיחה 22:22, 28 בספטמבר 2015 (IDT)

זו לא שאלה פשוטה. הדרך הקלה ביותר לזהות ש-$\ {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-5}}}}={\frac {1+{\sqrt {-5}}}{2}}$ היא ניחוש. במקרה המסויים הזה, מכיוון שהתשובה ידועה, אפשר להגיע אל הניחוש בעזרת פתרון המשוואה $\ 2x-2x^{-1}=2$, אבל מן הסתם תחשוב שזו "רמאות". באופן כללי הדרך היחידה לנתח את כל הסיפור היא ללמוד את המבנה של השדה $\ \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-5}},{\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-5}}}}\right]$ בעזרת תורת גלואה ותורת המספרים האלגברית. יש כמה דוגמאות (עם רמזים לטכניקות רלוונטיות) בסעיף 7.3.2 של החוברת הישנה הזו. עוזי ו. - שיחה 23:46, 28 בספטמבר 2015 (IDT)

חסר לנו אורן (תוכנה) באמת. ‏«kotz» «שיחה» 00:33, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

עוזי, אני כבר יודע כתוצאה משימוש במחשבון ש-$\ {\sqrt[{3}]{2\pm {\sqrt {5}}}}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$. זה לא חידוש ולא עונה לי על השאלה. האם ניתן לפשט משוואות כאלו ידנית שלב שלב בלא צורך לנחש? אם לא, איך עשו זאת מגלי הפתרונות לפני 500 שנה? איש הסילונים - שיחה 01:17, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

דרך אחת לגשת לשאלה הזאת היא באמצעות משפט מתורת הפולינומים. (כמובן, יש להעביר את ה-32 אגף) לפיו, אם יש לפולינום שורש שלם הוא מחלק את המקדם החופשי של הפולינום. במקרה הזה- 32. לכן, אם יש לפולינום שורש שלם הוא יכול להיות רק 2,4,8,16, או המקבילים השליליים. לאחר מכאן, אפשר לעבור למשוואה ריבועית על ידי חילוק פולינומים. כלומר, לחלק את הפולינום בפולינום x-2. לאחר מכן נשארנו עם משוואה ריבועית. נניח והיינו מגלים ש2,4,8,16 אינם פתרונות, יש משפט דומה לגבי שורשים רציונליים של הפולינום- אם המספר הרציונלי x/y הוא פיתרון, אז x מחלק את המקדם החופשי (32) ו-y מחלק את המקדם הראשון (1). אם גם זה לא היה מניב לנו פיתרון, הרי שאין פיתרון רציונלי, ואז אפשר למצוא פיתרון מקורב. דרך אחת לעשות את זה היא באמצעות שיטה המבוססת על משפט ערך הביניים- הרעיון הבסיסי הוא למצוא נקודה שבה הפולינום מקבל ערך שלילי, ונקודה שבה הוא חיובי, ואז לחלק את הקטע ביניהם לשניים שוב ושוב. בלנק - שיחה 01:45, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

אחרי שכתבתי את כל החפירה הזאת אני פתאום חושב שלא הבנתי את השאלה- שהיא התייחסה לא למשוואה הראשונה אלא ל"סיבוך שלה" שנכתב אחר כך. אם כן, מצטער על הצפת המלל . בלנק - שיחה 01:58, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

אני מפקפק בכך שהמחשבון שלך מדווח על השורש השלישי בצורתו הרדיקלית; המחשבון נתן לך ערך מספרי, ואתה זיהית אותו כיחס הזהב (לזה קראתי "ניחוש"). איך עשו דברים כאלה במאה ה-16? שאלה טובה; יתכן שביצעו חישוב נומרי. אבל גם התשובה של בלנק אינה רחוקה מהאמת. הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית נותנת פתרון מדויק, בשפה של רדיקלים, שאינה בהכרח ההצגה הפשוטה ביותר. אם ידוע מראש שהביטוי מציג מספר רציונלי, אפשר למצוא אותו על-ידי חזרה למשוואה המקורית ובדיקת המחלקים של המונה והמכנה. אם תמקד את השאלה בשורש השלישי עצמו, אני חוזר לתשובה הקודמת -- הדרך היחידה למצוא אותו (בהנחה שיש לו הצגה פשוטה יותר, אבל לא רציונלית) היא תוך שימוש בכלים מתורת גלואה ותורת המספרים האלגברית (ספציפית, נורמה ומשפט היחידות של דיריכלה). עוזי ו. - שיחה 02:28, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

על הדרך, האם מישהו יכול להוכיח לי את הנוסחא הפשוטה לפתירת משוואה ממעלה שלישית $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ כמו הוכחת המשוואה הריבועית? אני לא מבין כלום בדפי ויקיפדיה בנושא.

אני רוצה פירוט מדויק כך שלא יימצא פגם או עיגול פינות באחד השלבים (למשל $\ x=y-a/3$ בלי להסביר כלום איך הגענו לשם, או כזה ראה וקדש). או לפחות תַפנו אלי דפים מפורטים ומדויקים בנושא כי לא מצאתי שום דבר באינטרנט שיכול לשפוך אור עליו. אני מתפלא שהנושא נשאר סתום מההמונים בדיוק כמו במאה ה-16, רק ליחידי סגולה. איש הסילונים - שיחה 11:16, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

― סוף העברה

הפתרון בויקיפדיה סביר למדי. החלפת x=y-a/3 היא הצבה, שלא צריך להסביר (כל הצבה הפיכה מותרת). אם יש צורך בהסברים נוספים, אשמח לתת אותם בדף השיחה. אפשר למצוא פירוט מסויים בחוברת שלי על תורת גלואה, עמ' 41-42. לשאלה "איך הגענו לשם" יש שתי תשובות: ראשית, דל-פרו וטרטליה היו פיקחים די הצורך למצוא את ההצבות הנכונות. שנית, אפשר לנתח את המצב דרך הפולינומים המינימליים של פונקציות סימטריות, באופן שאינו שונה מהותית מנוסחאות ויאטה. עוזי ו. - שיחה 13:03, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

גם בהשלמה לריבוע יש הסבר פשוט איך מגיעים להצבה. אבל, מה זו הצבה הפיכה?

למה מותר לנו להניח במשוואה $\beta ^{3}+\gamma ^{3}+(3\beta \gamma +p)x+q=0$ שהביטוי $3\beta \gamma +p=0$?

אבל כמו שהצעת עדיף לעבור לשיחה:משוואה ממעלה שלישית. אם תוכל להסביר לי שם. איש הסילונים - שיחה 13:55, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

הצבה הפיכה = הצבה שאפשר לשחזר באופן חד-משמעי. למשל, ההצבה $y=x-7$ היא הפיכה, כי אפשר לחזור ממנה על-ידי $x=y+7$. הצבה כמו $y={\frac {x}{x^{2}+1}}$ אינה הפיכה, ודורשת יותר תשומת לב.

כשמציבים $x=\beta +\gamma$ נוספת למערכת דרגת חופש: אפשר לבחור את $\gamma$ כרצוננו, ולסמוך על $\beta$ שיעבור על כל הערכים האפשריים ל-x. באופן יותר ספציפי, אם מחזיקים את המכפלה $\beta \cdot \gamma$ קבועה, אבל לא את המשתנים $\beta$ ו-$\gamma$ עצמם, הסכום שלהם $\beta +\gamma$ יכול לקבל כל ערך; לכן אפשר להניח שהוא שווה ל-x, שכמובן אינו ידוע מלכתחילה. עוזי ו. - שיחה 18:31, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

ולמה $3\beta \gamma +p=0$? מה זה מוסיף ולמה זה חוקי?

כלומר, האם אתה ספציפית מכיר את ההוכחות לנוסחאות המשוואה הקובית $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$? האם ניתן לפרק את הנוסחא בדומה למשוואה ריבועית עם צמצום המקדם $A$ ומשם הלאה בצעדים פשוטים? איש הסילונים - שיחה 18:59, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

בוחרים $3\beta \gamma +p=0$ כדי שהמשוואה תתן את הסכום $\beta ^{3}+\gamma ^{3}$. זה חוקי משום שכפי שהסברתי קודם, גם אחרי האילוץ על המכפלה, הסכום $\beta +\gamma$ יכול לקבל כל ערך. כן, אני מכיר את הנוסחאות (הפניתי לחוברת שבה הסברתי אותן בפירוט). אפשר לתאר פתרון אלגוריתמי של המשוואה ממעלה שלישית - זה נעשה בערך; אפשר גם לארוז את הפתרון הזה לנוסחה סגורה. עוזי ו. - שיחה 19:45, 29 בספטמבר 2015 (IDT)

אז איך זה מתבטא כאן $x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0$? מה (בדיוק) היית מציב? היה עקבי, כי בערך פתרון משוואה ממעלה שלישית באמצעות נוסחה הכל נראה לי "הלכה למשה מסיני". איש הסילונים - שיחה 00:09, 30 בספטמבר 2015 (IDT)

בסעיף משוואה ממעלה שלישית#נוסחה לפתרון למשוואה ממעלה שלישית יש שתי נוסחאות, כמעט זהות, ולדעתי שתיהן מיותרות. קרא את הסעיף הקודם להן. עוזי ו. - שיחה 00:47, 30 בספטמבר 2015 (IDT)

המאמר הזה עוסק בשאלה שלך, איך מפשטים ביטויים מהסוג המופיע בפתרון המשוואה ממעלה שלישית. הוא מציע רעיון טכני מסויים, אבל ביסודו של דבר הפתרון שלו מעגלי לחלוטין. עוזי ו. - שיחה 19:46, 30 בספטמבר 2015 (IDT)

משוב מ-4 באוקטובר 2015

לפני כחצי שנה,שלחתי באתר זה כי נימצאת ברשותי תשובה מאוד פשוטה ויעילה להשגת פיתרון אחד לבעיה הנדונה (ואולי שניים).למרבה ההפתעה לא חזר אלי איש מעורכי המדור הזה בבקשה לקבלת הסבר. לכן החלטתי לפנות בנידון לפורום מתמטיקאים ידועים שאבחר ופיסיקאים (הבעיה שניתקלתי בה הינה ביסודה פיסיקלית -אוירונאוטית).באותו פורום אציין כי לא קיבלתי מכם תגובה כלשהי לפנייתי.

בכבוד רב  יצחק יצב
 רח' אבן עזרא 5
  ירושלים הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
 84.108.168.134 18:07, 4 באוקטובר 2015 (IDT)

שלום יצחק. שים לב כי בוויקיפדיה אין עורכי מדור, וכל משתמש, כולל אתה, מוזמן לעדכן את הערך ולשפר אותו בעצמו. אם תהיה מעוניין בהסבר כיצד לעשות זאת אנא פנה אלי בדף שיחתי. בברכה, ‏Lionster‏ • שיחה 18:10, 4 באוקטובר 2015 (IDT)

אתה מוזמן להציג את הפרטים כאן, בדף השיחה. (קח בחשבון שהשנה חגגנו את יובל ה-500 לפתרון המשוואה ממעלה שלישית). עוזי ו. - שיחה 20:54, 5 באוקטובר 2015 (IDT)

היסטוריה

בערך על עומר ח'יאם כתוב שהוא מצא פיתרון גיאומטרי למשוואות ממעלה שלישית. פה כתוב שהפיתרון נמצא במאה ה16. איפה הטעות? לענה - שיחה 09:51, 6 ביוני 2023 (IDT)

יש גישה שמנסה למצוא מקורות מוקדמים לכל תגלית, לפעמים על ידי סילוף משמעותה של התגלית. מהו "פיתרון גיאומטרי" בהקשר של עומר ח'יאם? הפתרון שמצאו המתמטיקאים האיטלקים הוא באמצעות פעולות השדה והוצאת שורש שני ושלישי. עוזי ו. - שיחה 12:39, 6 ביוני 2023 (IDT)