תיאורמה אגרגיום

ההצהרה המקורית של גאוס על התיאורמה אגרגיום, בתרגום מלטינית לאנגלית.

תיאורמה אגרגיום (בלטינית: Theorema Egregium; בעברית: המשפט הראוי לציון או משפט מופלא) הוא תוצאה יסודית בגאומטריה דיפרנציאלית שהוכחה על ידי קרל פרידריך גאוס ב-1828 ועוסקת בעקמומיות של משטחים. המשפט קובע כי עקמומיות גאוס של משטח יכולה להיקבע באמצעות מדידת זוויות ומרחקים על המשטח עצמו, ללא תלות באופן שבו המשטח משוכן במרחב האוקלידי המקיף אותו. לכן עקמומיות גאוס היא תכונה פנימית של המשטח. בשפה מתמטית מודרנית: עקמומיות גאוס של משטח היא אינווריאנטית תחת איזומטריה מקומית.

המשפט הוא "יוצא דופן" משום שהגדרת עקמומיות גאוס של המשטח עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח משוכן במרחב. לכן זה מפתיע מאוד שהתוצאה הסופית אינה תלויה בשיכון שלו, ונשמרת אם מעקמים או מפתלים את המשטח.

בעוד שגאוס הראה כי תנאי הכרחי להיתכנות הפיתוח של משטח אחד למשטח אחר הוא שוויון מקומי של עקמומיות גאוס של שני המשטחים, פרדיננד מיינדינג הוכיח ב-1839 כי זהו גם תנאי מספיק (משפט מיינדינג).

אינטואיטיבית, גאוס גילה שמידת העקמומיות של משטח (כמו פני כדור הארץ) היא תכונה פנימית– כלומר, אפשר לחשב אותה רק על סמך מדידות שנעשות על פני השטח עצמו, בלי לדעת איך הוא שוכן במרחב. אחת התוצאות של המשפט המופלא היא שלא ניתן להציג את כדור הארץ על גבי מפה ללא עיוות (כלומר שינוי של תכונות כגון זוויות, מרחקים או שטחים).

יישומים אלמנטריים

כמסקנה מן התיאורמה אגרגיום נובע שפני כדור הארץ לא ניתנים לייצוג על מפה מישורית באופן מושלם. היטל מרקטור שמוצג בתמונה, הוא היטל שאמנם משמר זווית אך מעוות את השטח.

לספירה בעלת רדיוס $R$ יש עקמומיות גאוס קבועה ששווה ל-$\ 1/R^{2}$: עקמומיות גאוס מוגדרת כמכפלה של מידת העקמומיות לאורך שני צירים מאונכים (מסוימים), ובנקודה על הספירה העקמומיות בכל כיוון היא $\ 1/R$. למישור, לעומת זאת, יש עקמומיות גאוס ששווה לאפס: העקמומיות בכל כיוון היא אפס. גם לגליל יש עקמומיות אפס, משום שבכל נקודה עליו יש כיוון שבו העקמומיות היא אפס (שבו ניתן למצוא על פניו קו ישר); עקמומיות שכזו נקראת עקמומיות מדומה. כמסקנה מן התיאורמה אגרגיום נובע שלא ניתן ליצור מנייר שטוח ספירה, מבלי לקרוע אותו. לחלופין, פני השטח של כדור אינם ניתנים לפרישה אל מישור מבלי שהמרחקים על המשטח יתעוותו. בשפה מתמטית, הספירה והמישור אינם איזומטריים, אפילו לא מקומית. לעובדה זו יש חשיבות עצומה בקרטוגרפיה; נובע ממנה שלא ניתן להכין מפה מישורית מושלמת של פני כדור הארץ, אפילו לא של חלק ממנו - כל הטלה קרטוגרפית בהכרח מעוותת במקצת את הגדלים המקוריים שעל פני כדור הארץ. אכן, יישומים לגאודזיה היו אחת המוטיבציות המרכזיות של גאוס למחקריו בגאומטריה דיפרנציאלית.

אנימציה שמתארת דפורמציה של הליקואיד לקטנואיד. Theorema Egregium קובע שלנקודות מתאימות תחת הדפורמציה יש אותה עקמומיות גאוס.

הקטנואיד וההליוקואיד הם שני משטחים שונים מאוד למראית עין. למרות זאת, כל אחד מהם ניתן לעיוות רציף אחד אל השני: הם איזומטריים באופן מקומי. מן התיאורמה אגרגיום נובע שתחת העיוות הזה עקמומיות גאוס של כל שתי נקודות מתאימות על שני המשטחים היא תמיד זהה. דוגמה זו מראה שהעיוות מעקם ומסובב את המשטח, בלי ליצור קפלים או קרעים; לכן הוא גם אינו משנה את המתיחות או הלחצים בתוך המשטח.

ניתן לראות יישום של התיאורמה אגרגיום כאשר עצם שטוח מתקפל או מתכופף לאורך קו מסוים, מה שיוצר קשיחות בכיוון שניצב לקו הכיפוף. לתופעה זו יש שימושים מעשיים בבנייה, וגם באסטרטגיית אכילת פיצה נפוצה: ניתן לראות בפרוסת כמשטח בעל עקמומיות גאוס אפס. אם כך, עיוות של הפרוסה חייב לשמר את העקמומיות הזו. אם מעקמים כעת את הפרוסה סביב ציר רדיאלי (קו מהיקף העיגול אל המרכז), נוצרת עקמומיות חיובית לאורך השפה, ובכך מאולצת העקמומיות בכיוון המאונך לה (כיוון הציר) להישאר אפס. הפעולה יוצרת קשיחות בכיוון הרדיאלי, כך שהפרוסה אינה יכולה להתקפל בכיוון זה בלי להיקרע, וכך ניתן להרים אותה בבטחה. אותו עיקרון מיושם לצורך הקשחה יעילה של משטחים מחומרים בעלי חוזק מוגבל, מהם המוכרים ביותר הם קרטון גלי ופח גלי.

תוצאה נוספת של המשפט היא הקשר בין סכום הזוויות של משולש גיאודזי לבין שטח המשולש על פני משטח עקום. בפרט, על פני כדור או כל משטח בעל עקמומיות גאוס חיובית, סכום הזוויות של משולש יהיה תמיד גדול מ־$\pi$, וההפרש בזוויות יהיה פרופורציונלי לשטח של המשולש. משפט גאוס-בונה מכליל את הקשר בין עקמומיות גאוס לזוויות/שטח למשטחים שלמים, ולא רק למשולשים.

קישורים חיצוניים

• קרל פרידריך גאוס, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, ספר Ebook באתר פרויקט גוטנברג: חקירות כלליות של משטחים עקומים.
• תיאורמה אגרגיום, באתר MathWorld (באנגלית)