תיאורמה אגרגיום

אנימציה שמתארת דפורמציה של הליקואיד לקטנואיד. Theorema Egregium קובע שלנקודות מתאימות תחת הדפורמציה יש אותה עקמומיות גאוס.

תיאורמה אגרגיום (בלטינית: Theorema Egregium; בעברית: משפט ראוי לציון או משפט נהדר) הוא תוצאה יסודית בגאומטריה דיפרנציאלית שהוכחה על ידי קרל פרידריך גאוס ב-1828 ועוסקת בעקמומיות של משטחים. המשפט קובע כי עקמומיות גאוס של משטח יכולה להיקבע באמצעות מדידת זוויות ומרחקים על המשטח עצמו, ללא תלות באופן שבו המשטח משוכן במרחב האוקלידי המקיף אותו. לכן עקמומיות גאוס היא תכונה פנימית של המשטח. בשפה מתמטית מודרנית: עקמומיות גאוס של משטח היא אינווריאנטית תחת איזומטריה מקומית.

המשפט הוא "יוצא דופן" משום שעקמומיות גאוס של המשטח עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח משוכן במרחב. לכן זה מפתיע מאוד שהתוצאה הסופית אינה תלויה בשיכון שלו, ונשמרת אם מעקמים או מפתלים את המשטח.

בעוד שגאוס הראה כי תנאי הכרחי להיתכנות הפיתוח של משטח אחד למשטח אחר הוא שוויון מקומי של עקמומיות גאוס של שני המשטחים, פרדיננד מיינדינג הוכיח ב-1839 כי זהו גם תנאי מספיק (משפט מיינדינג).

יישומים אלמנטריים

כמסקנה מן התיאורמה אגרגיום נובע שפני כדור הארץ לא ניתנים לייצוג על מפה מישורית באופן מושלם. היטל מרקטור שמוצג בתמונה, הוא היטל שאמנם משמר זווית אך מעוות את השטח.

לספירה בעלת רדיוס R יש עקמומיות גאוס קבועה ששווה ל-$\ 1/R^{2}$: עקמומיות גאוס מוגדרת כמכפלה של מידת העקמומיות לאורך שני צירים מאונכים (מסוימים), ובנקודה על הספירה העקמומיות בכל כיוון היא $\ 1/R$. למישור, לעומת זאת, יש עקמומיות גאוס ששווה לאפס: העקמומיות בכל כיוון היא אפס. גם לגליל יש עקמומיות אפס, משום שבכל נקודה עליו יש כיוון שבו העקמומיות היא אפס (שבו ניתן למצוא על פניו קו ישר); עקמומיות שכזו נקראת עקמומיות מדומה. כמסקנה מן התיאורמה אגרגיום נובע שלא ניתן ליצור מנייר שטוח ספירה, מבלי לקרוע אותו. לחלופין, פני השטח של כדור אינם ניתנים לפרישה אל מישור מבלי שהמרחקים על המשטח יתעוותו. בשפה מתמטית, הספירה והמישור אינם איזומטריים, אפילו לא מקומית. לעובדה זו יש חשיבות עצומה בקרטוגרפיה; נובע ממנה שלא ניתן להכין מפה מישורית מושלמת של פני כדור הארץ, אפילו לא של חלק ממנו - כל הטלה קרטוגרפית בהכרח מעוותת במקצת את הגדלים המקוריים שעל פני כדור הארץ. אכן, יישומים לגאודזיה היו אחת המוטיבציות המרכזיות של גאוס למחקריו בגאומטריה דיפרנציאלית.

הקטנואיד וההליוקואיד הם שני משטחים שונים מאוד למראית עין. למרות זאת, כל אחד מהם ניתן לעיוות רציף אחד אל השני: הם איזומטריים באופן מקומי. מן התיאורמה אגרגיום נובע שתחת העיוות הזה עקמומיות גאוס של כל שתי נקודות מתאימות על שני המשטחים היא תמיד זהה. דוגמה זו מראה שהעיוות מעקם ומסובב את המשטח, בלי ליצור קפלים או קרעים; לכן הוא גם אינו משנה את המתיחות או הלחצים בתוך המשטח.

ניתן לראות יישום של ה-Theoerema Egregium באסטרטגיה נפוצה להרמת פרוסת פיצה: הפרוסה היא משטח בעל עקמומיות גאוס אפס. עיוות של הפרוסה חייב לשמר את העקמומיות הזו. אם מעקמים כעת את הפרוסה סביב ציר רדיאלי (קו מהיקף העיגול אל המרכז), נוצרת עקמומיות חיובית לאורך השפה, ובכך מאולצת העקמומיות בכיוון המאונך לה (כיוון הציר) להישאר אפס. הפעולה יוצרת קשיחות בכיוון הרדיאלי, כך שהפרוסה אינה יכולה להתקפל בכיוון זה בלי להיקרע, וכך ניתן להרים אותה בבטחה. אותו עיקרון מיושם לצורך הקשחה יעילה של משטחים מחומרים בעלי חוזק מוגבל, מהם המוכרים ביותר הם קרטון גלי ופח גלי.

קישורים חיצוניים

• קרל פרידריך גאוס, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, ספר Ebook באתר פרויקט גוטנברג: חקירות כלליות של משטחים עקומים.
• תיאורמה אגרגיום, באתר MathWorld (באנגלית)