ישרים מקבילים

זוג ישרים מקבילים, a ו-b, נחתכים על ידי ישר שלישי, t

ישרים מקבילים הם ישרים הנמצאים באותו מישור ואינם נחתכים (נפגשים).

אקסיומת המקבילים שהיא אחת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית, קובעת כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון". גאומטריות לא אוקלידיות מחליפות אקסיומה זו באקסיומות אחרות:

• בגאומטריה ההיפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". מכך נובע כי דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה.
• בגאומטריה הספירית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך נקודה מחוץ לישר לא ניתן להעביר ישר מקביל לישר הנתון".

תכונות של ישרים מקבילים בגאומטריה האוקלידית

• כל הנקודות על ישר נתון נמצאות באותו מרחק מהישר המקביל לו.
• כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, נוצרות זוויות מתאימות אשר שוות זו לזו (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באות $\beta \$ ונמצאות בצדו האחד של הישר החותך)

כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, הזוויות הסמוכות שנוצרות משלימות זו את זו ל-180 מעלות (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באותיות $\beta \$ ו-$\theta \$).

• השיפועים של הישרים המקבילים שווים. בהצגה וקטורית של הישרים וקטורי הכיוון שלהם בעלי אותו כיוון, כלומר שווים עד כדי הכפלה בסקלר.

מצולעים אחדים מתאפיינים בקיומן של צלעות מקבילות:

• במקבילית יש שני זוגות של צלעות מקבילות. מלבן, מעוין וריבוע הם מקרים פרטיים של מקבילית, ולכן גם בכל אחד מהם יש שני זוגות של צלעות מקבילות.
• בטרפז יש זוג אחד של צלעות מקבילות.
• במצולע משוכלל שמספר צלעותיו זוגי, כל צלע מקבילה לצלע הנגדית.

יחס טרנזטיבי

ישרים מקבילים מקיימים יחס טרנזיטיבי כלומר אם ישר a מקביל לישר b וישר b מקביל לישר c, אז ישר a מקביל לישר c.

זוויות בין שני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי

זוויות חד-צדדיות

$\alpha +\beta =180^{\circ }$

זוויות חד-צדדיות הן שתי זוויות שנכלאות על ידי שני ישרים וישר החותך אותם, כאשר שתי הזוויות הן מאותו צד של הישר החותך, אך מצדדים שונים של שני הישרים הנחתכים. כאשר שני הישרים הנחתכים הם ישרים מקבילים, סכום הזוויות החד-צדדיות הוא 180 מעלות (ברדיאנים $\pi$).

הוכחה

ההוכחה נובעת מהאקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים. על פי האקסיומה, כל שני ישרים שהזוויות הנכלאות מצד אחד שלהן קטנות מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אם יוארכו מספיק בצד זה, יפגשו לבסוף, כלומר הם אינם מקבילים.

מהאקסיומה נובע כי אם ורק אם סכום הזויות האלו היה 180 מעלות, הם היו מקבילות (אם הן יותר מ-180, בצד השני הן פחות מ-180 ולכן רק אם הן 180 בדיוק).

מכך ניתן להוכיח כי כל שני ישרים מקבילים כולאים ביניהם זוויות של 180 מעלות, אחרת הם אינם מקבילים.

שימוש

זוויות חד-צדדיות משמשות להגדרה של זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות (ראו להלן), זוויות שוק בטרפז שווה-שוקיים, ועוד.

זוויות מתאימות

ניתן להוכיח כי $\alpha =\beta$ באמצעות יחס השלמה ל-$180^{\circ }$ עם $\gamma$.

זוויות מתאימות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי, כאשר שתי הזוויות הן מאותו צד של החותך ושל שני הישרים הנחתכים. כאשר שני הישרים הנחתכים הם ישרים מקבילים, זוויות מתאימות שוות זו לזו.

הוכחה

נתבונן בציור משמאל.

$\alpha +\gamma =180^{\circ }$ (זוויות צמודות)

$\beta +\gamma =180^{\circ }$ (זוויות חד-צדדיות)

$\alpha =180^{\circ }-\gamma$ (חישוב)

$\beta =180^{\circ }-\gamma$ (חישוב)

$\alpha =\beta$

מש"ל.

זוויות מתחלפות

ניתן להוכיח כי $\alpha =\beta$ באמצעות היחסים ביניהם ל$\gamma$.

זוויות מתחלפות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי, וכל אחת מהן נמצאת בצד אחר של הישר החותך ובצד אחר של שני הישרים הנחתכים. נהוג לחלק את הזויות המתחלפות לשני זוגות של זוויות מתחלפות פנימיות (לדוגמה זוויות $\alpha ,\beta$ בציור) ושני זוגות של זוויות מתחלפות חיצוניות. כאשר שני הישרים הנחתכים הם ישרים מקבילים, הזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

הוכחה

נתבונן בזוויות $\alpha ,\beta ,\gamma$ בציור.

$\alpha +\gamma =180^{\circ }$ (זוויות חד-צדדיות)

$\beta +\gamma =180^{\circ }$ (זוויות צמודות)

$\alpha =180^{\circ }-\gamma$ (חישוב)

$\beta =180^{\circ }-\gamma$ (חישוב)

$\alpha =\beta$

מש"ל.

ראו גם

• אקסיומת המקבילים
• זוויות צמודות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ישרים מקבילים בוויקישיתוף

• ישרים מקבילים, באתר MathWorld (באנגלית)
• שני ישרים מקבילים, באתר www.damada.co.il, דע מדע