פונקציית רימן – הבדלי גרסאות
מאין תקציר עריכה |
מ זוטא |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן)|אחר=פונקציית זטא של רימן|ראו=[[פונקציית זטא של רימן]]}} |
{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן)|אחר=פונקציית זטא של רימן|ראו=[[פונקציית זטא של רימן]]}} |
||
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] |
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת כדלהלן: |
||
<center> |
<center> |
||
<math> |
<math> |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
פונקציה זו מוגדרת על כל [[הישר הממשי]], והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות: |
פונקציה זו מוגדרת על כל [[הישר הממשי]], והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות: |
||
* פונקציה זו [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר, ומכאן ברור שאין קטע |
* פונקציה זו [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה. |
||
* אין קטע שהיא [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] בו. |
* אין קטע שהיא [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] בו. |
||
* קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה [[קבוצה צפופה|צפופה]] על הישר, אך בעלת [[מידה אפס]]. |
* קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה [[קבוצה צפופה|צפופה]] על הישר, אך בעלת [[מידה אפס]]. |
גרסה מ־00:41, 19 ביולי 2007
פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית המוגדרת כדלהלן:
כלומר, מניחים כי p/q הוא שבר מצומצם.
(ב- ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
- פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה.
- אין קטע שהיא מונוטונית בו.
- קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
- בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).
הערה על שם הפונקציה
בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
- פונקציית הסרגל
- פונקציית הפופקורן
- פונקציית תומה (Thomae's function)
הוכחה
נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.
יהי , כאשר שלמים זרים ו-. מכאן ש-. נראה כי אינה רציפה ב-. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה של מספרים אי רציונלים המקיימת . לכל מתקיים , ומכאן , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-.
כעת נניח ש- מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי . יש למצוא כך שאם אזי . קיים שלם כך ש-. נסמן (פונקציית העצרת). מכיוון ש- אינו רציונלי, קיים כך שהמרחק מ- לכל שבר מהצורה עם שלם, גדול מ-. יהי המקיים . ייתכנו שתי אפשרויות:
- ואז , ומכאן .
- הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- קטן מ-, אז לא יכול לחלק את , ולכן ו-, כלומר, אם אזי , כדרוש.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם אזי , ומכאן ש- רציפה ב-.