פונקציית רימן – הבדלי גרסאות
מ עוד קצת |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
[[תמונה:Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png|200px|left|thumb|פונקציית רימן בקטע (0,1)]] |
[[תמונה:Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png|200px|left|thumb|פונקציית רימן בקטע (0,1)]] |
||
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת |
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת על מספרים רציונליים לפי <math>\ f(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q}</math> (כאשר השבר מצומצם, כלומר p,q [[מספרים זרים|זרים זה לזה]]), ומתאפסת על מספרים שאינם רציונליים. (ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). |
||
<center> |
|||
<math> |
|||
f(x) = \left\{\begin{matrix} |
|||
\frac{1}{q} & \mbox{if } x=\frac{p}{q}\in\mathbb Q,\quad p,q\ \ \mbox{relatively prime integers}, q>0 \\ |
|||
0 & \mbox{if } x \notin \mathbb Q \end{matrix}\right. |
|||
</math> |
|||
</center> |
|||
כלומר, מניחים כי <math>\ p/q</math> הוא [[שבר (מתמטיקה)|שבר]] מצומצם. |
|||
(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). |
|||
==תכונות הפונקציה == |
==תכונות הפונקציה == |
גרסה מ־22:12, 21 ביולי 2007
פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית המוגדרת על מספרים רציונליים לפי (כאשר השבר מצומצם, כלומר p,q זרים זה לזה), ומתאפסת על מספרים שאינם רציונליים. (ב- ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
תכונות הפונקציה
פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
- פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה.
- אין קטע שהיא מונוטונית בו.
- קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
- בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).
הערות
שם הפונקציה
שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
- פונקציית הסרגל
- פונקציית הפופקורן
- פונקציית תומה (Thomae's function)
פונקציה המקיימת תכונות דומות
נסדר את המספרים הרציונלים על הישר בסדרה , ונגדיר פונקציה על-ידי הנוסחה . הפונקציה המתקבלת רציפה גם היא בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.
קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה
לא קיימת פונקציה הרציפה בכל נקודה רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, משום שקבוצת נקודות הרציפות של פונקציה היא קבוצת , ואילו קבוצת המספרים הרציונלים על הישר אינה קבוצת .
הוכחה
נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.
יהי , כאשר שלמים זרים ו-. מכאן ש-. נראה כי אינה רציפה ב-. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה של מספרים אי רציונלים המקיימת . לכל מתקיים , ומכאן , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-.
כעת נניח ש- מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי . יש למצוא כך שאם אזי . קיים שלם כך ש-. נסמן (פונקציית העצרת). מכיוון ש- אינו רציונלי, קיים כך שהמרחק מ- לכל שבר מהצורה עם שלם, גדול מ-. יהי המקיים . ייתכנו שתי אפשרויות:
- ואז , ומכאן .
- הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- קטן מ-, אז לא יכול לחלק את , ולכן ו-, כלומר, אם אזי , כדרוש.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם אזי , ומכאן ש- רציפה ב-.