אקסיומות המנייה

אקסיומות המניה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מניה. מרחבים בעלי תכונות מניה חזקות הם כביכול 'קטנים' יותר, ולכן קלים יותר לטיפול.

אקסיומת המניה הראשונה קובעת שסביב כל נקודה של המרחב הטופולוגי יש בסיס מקומי בן מניה. אקסיומה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי.

בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המניה השניה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מניה. האקסיומה השניה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השניה ובנוסף לזה את אקסיומת ההפרדה $\ T_{3}$ הוא מרחב מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקה מתאימה).

בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה

כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.

אקסיומות המניה

האקסיומה הראשונה:

• מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה הראשונה ($\ C_{I}$) אם סביב כל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מניה.

תכונה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס $\ 1/n$ סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), והיא נועדה ללכוד את ההתנהגות המקומית של מרחב מטרי.

התכונה שניה 'אורזת' את הבסיסים המקומיים יחד:

• מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה השניה ($\ C_{II}$) אם יש לו בסיס בן מניה.

כמובן שכל מרחב $\ C_{II}$ הוא בפרט $\ C_{I}$ (כדי לקבל בסיס מקומי סביב p, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את p). מרחב מטרי חסום כליל הוא $\ C_{II}$.

לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:

• מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מניה.

כל מרחב $\ C_{II}$ הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מניה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון.

נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלוף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מניה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מניה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים קומפקטיות סדרתית.

מרחב $\ C_{I}$ הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.

כל מרחב $\ C_{II}$ מקיים את תכונת לינדלוף. במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת $\ C_{II}$.

המשפט המרכזי על מרחבי $\ C_{II}$ קובע שמרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה $\ T_{3}$, הוא מטריזבילי.