מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
באלגברה , נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט ) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים [ 1]
עבור פולינום מהצורה
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
(
x
1
x
2
x
3
+
⋯
+
x
1
x
2
x
n
)
+
(
x
1
x
3
x
4
+
⋯
+
x
1
x
3
x
n
)
+
⋯
+
(
x
2
x
3
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
−
1
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
=
−
a
n
−
3
a
n
⋮
x
1
⋯
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{2}x_{n})+(x_{1}x_{3}x_{4}+\cdots +x_{1}x_{3}x_{n})+\cdots +(x_{2}x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n-1}x_{n})+\cdots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}
הנוסחה לכל אחד ואחד היא:
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
n
x
i
1
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{1\,\leq \,i_{1}\,<\,\cdots \,<\,i_{k}\,\leq \,n}^{n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
לדוגמה, מתקיים:
∑
j
=
1
n
x
j
=
−
a
n
−
1
a
n
,
∏
j
=
1
n
x
j
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle \sum _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}},\quad \prod \limits _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}}
בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה
p
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\ ,\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
מאחר שעבור כל מטריצה , הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני , לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:
∑
j
=
1
n
x
j
=
t
r
(
A
)
,
∏
j
=
1
n
x
j
=
det
(
A
)
{\displaystyle \sum _{j\,=\,1}^{n}x_{j}={\rm {tr}}(A),\quad \prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=\det(A)}
כאשר
A
{\displaystyle A}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
דטרמיננטה , המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.
