פולינום ברנשטיין – הבדלי גרסאות
תרגמת רצינית |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קובץ:Bernstein_Approximation.gif|שמאל|ממוזער|פולינומי ברנשטיין לקירוב עקומה]] |
[[קובץ:Bernstein_Approximation.gif|שמאל|ממוזער|פולינומי ברנשטיין לקירוב עקומה]] |
||
בתחום ה[[אנליזה נומרית|אנליזה הנומרית]], '''פולינום ברנשטיין''', הקרוי על שם ממציאו, |
בתחום ה[[אנליזה נומרית|אנליזה הנומרית]], '''פולינום ברנשטיין''', הקרוי על שם ממציאו, [[סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין]], הוא [[פולינום]] בתצורת ברנשטיין, כלומר הוא מהווה [[צירוף לינארי]] של פולינומי הבסיס של ברנשטיין. |
||
דרך |
דרך [[יציבות נומרית|יציבה מבחינה נומרית]] להעריך פולינומים בתצורת ברנשטיין היא בעזרת [[אלגוריתם דה-קסטלז'ו]]. |
||
פולינומים בתצורת ברנשטיין היו בשימוש לראשונה על ידי ברנשטיין |
פולינומים בתצורת ברנשטיין היו בשימוש לראשונה על ידי ברנשטיין, ב[[הוכחה קונסטרוקטיבית]] ל[[משפט סטון-ויירשטראס|משפט הקירוב של סטון–ויירשטראס]]. עם כניסת ה[[גרפיקה ממוחשבת|גרפיקה הממוחשבת]], הפכו פולינומי ברנשטיין (על הקטע החסום <math>[1,0]</math>) לשימושיים וחשובים ביצירת [[עקום בזייה|עקומות בזייה]]. |
||
== הגדרה == |
== הגדרה == |
||
''n + 1 |
''n + 1'' פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה ''n'' מוגדרים כך: |
||
: <math>b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} \left( 1 - x \right)^{n - \nu}, \quad \nu = 0, \ldots, n.</math> |
: <math>b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} \left( 1 - x \right)^{n - \nu}, \quad \nu = 0, \ldots, n.</math> |
||
כאשר <math>{n \choose \nu}</math> הוא [[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]]. |
כאשר <math>{n \choose \nu}</math> הוא [[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]]. |
||
פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n יוצרים [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ל[[מרחב וקטורי|מרחב הווקטורי]] <math>\Pi_n</math> של פולינומים בדרגה של לכל היותר ''n''. |
|||
צירוף לינארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין, |
|||
:<math>B_n(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)</math> |
:<math>B_n(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)</math> |
||
נקרא '''פולינום ברנשטיין |
נקרא '''פולינום ברנשטיין''' או '''פולינום בתצורת ברנשטיין''' מדרגה ''n''. מקדמי <math>\beta_\nu</math> נקראים '''מקדמי ברנשטיין''' או '''מקדמי בזייר'''. |
||
== דוגמה == |
== דוגמה == |
||
שורה 24: | שורה 24: | ||
b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\ |
b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\ |
||
b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\ |
b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\ |
||
b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3 |
b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3 \\ |
||
b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4 |
b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4 |
||
\end{align} |
\end{align} |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות: |
לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות: |
||
* <math>b_{\nu, n}(x) = 0</math>, אם <math>\nu < 0</math> או <math>\nu > n</math>. |
* <math>b_{\nu, n}(x) = 0</math>, אם <math>\nu < 0</math> או <math>\nu > n</math>. |
||
* <math>b_{\nu, n}(0) = \delta_{\nu, 0}</math> ו <math>b_{\nu, n}(1) = \delta_{\nu, n}</math> כאשר <math>\delta</math> היא |
* <math>b_{\nu, n}(0) = \delta_{\nu, 0}</math> ו <math>b_{\nu, n}(1) = \delta_{\nu, n}</math> כאשר <math>\delta</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]. |
||
* <math>b_{\nu, n}(x)</math> יש שורש עם כפילות <math>\nu</math> בנקודה <math>x = 0</math> (הערה: אם <math>\nu = 0</math>, אין שורש ב |
* <math>b_{\nu, n}(x)</math> יש שורש עם כפילות <math>\nu</math> בנקודה <math>x = 0</math> (הערה: אם <math>\nu = 0</math>, אין שורש ב-0). |
||
* <math>b_{\nu, n}(x)</math> יש שורש עם כפילות <math>\left( n - \nu \right)</math> בנקודה <math>x = 1</math> (הערה: אם <math>\nu = n</math>, |
* <math>b_{\nu, n}(x)</math> יש שורש עם כפילות <math>\left( n - \nu \right)</math> בנקודה <math>x = 1</math> (הערה: אם <math>\nu = n</math>, אין שורש ב-1). |
||
* <math>b_{\nu, n}(x) \ge 0</math> עבור <math>x \in [0,\ 1]</math>. |
* <math>b_{\nu, n}(x) \ge 0</math> עבור <math>x \in [0,\ 1]</math>. |
||
* <math>b_{\nu, n}\left( 1 - x \right) = b_{n - \nu, n}(x)</math>. |
* <math>b_{\nu, n}\left( 1 - x \right) = b_{n - \nu, n}(x)</math>. |
||
* ה[[נגזרת]] יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר: |
* ה[[נגזרת]] יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר: |
||
*: <math>b'_{\nu, n}(x) = n \left( b_{\nu - 1, n - 1}(x) - b_{\nu, n - 1}(x) \right).</math> |
*: <math>b'_{\nu, n}(x) = n \left( b_{\nu - 1, n - 1}(x) - b_{\nu, n - 1}(x) \right).</math> |
||
* ה[[אינטגרל]] קבוע עבור <math>n</math> |
* ה[[אינטגרל]] קבוע עבור <math>n</math> נתון: |
||
*: <math>\int_{0}^{1}b_{\nu, n}(x)dx = \frac{1}{n+1} |
*: <math>\int_{0}^{1}b_{\nu, n}(x)dx = \frac{1}{n+1} ; \forall \nu = 0,1 \dots n</math> |
||
* אם <math>n \ne 0</math>, אז <math>b_{\nu, n}(x)</math> בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול <math>[0,\ 1]</math> ב <math>x = \frac{\nu}{n}</math>. המקסימום הנ"ל בעל הערך: |
* אם <math>n \ne 0</math>, אז <math>b_{\nu, n}(x)</math> בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול <math>[0,\ 1]</math> ב <math>x = \frac{\nu}{n}</math>. המקסימום הנ"ל בעל הערך: |
||
*: <math>\nu^\nu n^{-n} \left( n - \nu \right)^{n - \nu} {n \choose \nu}.</math> |
*: <math>\nu^\nu n^{-n} \left( n - \nu \right)^{n - \nu} {n \choose \nu}.</math> |
||
שורה 53: | שורה 53: | ||
== קירוב פונקציות רציפות == |
== קירוב פונקציות רציפות == |
||
נניח ש |
נניח ש-ƒ [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציה רציפה]] בקטע [0,1]. נבחן את פולינום ברנשטיין להלן: |
||
: <math>B_n(f)(x) = \sum_{\nu = 0}^n f\left( \frac{\nu}{n} \right) b_{\nu,n}(x).</math> |
: <math>B_n(f)(x) = \sum_{\nu = 0}^n f\left( \frac{\nu}{n} \right) b_{\nu,n}(x).</math> |
||
ניתן להראות כי: |
ניתן להראות כי: |
||
: <math>\lim_{n \to \infty}{ B_n(f)(x) } = f(x) \,</math> |
: <math>\lim_{n \to \infty}{ B_n(f)(x) } = f(x) \,</math> |
||
[[התכנסות במידה שווה|מתכנס |
[[התכנסות במידה שווה|מתכנס במידה שווה]] בקטע [0,1].{{הערה|שם=Nat6|Natanson (1964) p.6}} זו הצהרה חזקה יותר מאשר ההנחה שהגבול קיים בנפרד בכל ערך של ''x''; זו תהיה [[התכנסות נקודתית]] במקום התכנסות במידה שווה. באופן ספציפי, המילים "במידה שווה" מציינות: |
||
: <math>\lim_{n \to \infty} \sup \left\{\, \left| f(x) - B_n(f)(x) \right| \,:\, 0 \leq x \leq 1 \,\right\} = 0.</math> |
: <math>\lim_{n \to \infty} \sup \left\{\, \left| f(x) - B_n(f)(x) \right| \,:\, 0 \leq x \leq 1 \,\right\} = 0.</math> |
||
פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים |
פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים דרך אחת להוכיח את [[משפט הקירוב של ויירשטראס]] שכל פונקציה רציפה ממשית על הקטע הממשי [''a'',''b''] ניתנת להערכה במידה שווה על ידי פונקציות פולינום מעל '''R'''.{{הערה|שם=Nat3|Natanson (1964) p.3}} |
||
טענה כללית יותר על פונקציה |
טענה כללית יותר על פונקציה שגזירה ברציפות ''k'' פעמים היא: |
||
: <math>{\left\| B_n(f)^{(k)} \right\|}_\infty \le \frac{ (n)_k }{ n^k } \left\| f^{(k)} \right\|_\infty \text{ and } \left\| f^{(k)}- B_n(f)^{(k)} \right\|_\infty \to 0</math> |
: <math>{\left\| B_n(f)^{(k)} \right\|}_\infty \le \frac{ (n)_k }{ n^k } \left\| f^{(k)} \right\|_\infty \text{ and } \left\| f^{(k)}- B_n(f)^{(k)} \right\|_\infty \to 0</math> |
||
כאשר בנוסף |
כאשר בנוסף |
||
שורה 68: | שורה 68: | ||
=== הוכחה === |
=== הוכחה === |
||
נניח ש-''K'' [[משתנה מקרי]] המפוזר כמספר ההצלחות מתוך ''n'' ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות ''x'' של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות, |
נניח ש-''K'' [[משתנה מקרי]] המפוזר כמספר ההצלחות מתוך ''n'' ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות ''x'' של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות, ''k'' [[התפלגות בינומית|מתפלג בינומית]] עם פרמטרים ''n'' ו-''x''. מכאן ש[[תוחלת|ערך התוחלת]] <math>E\left[K / n\right] = x</math>. |
||
בעזרת הגרסה החלשה של [[חוק המספרים הגדולים]] מ[[תורת ההסתברות]], |
|||
: <math>\lim_{n \to \infty}{ P\left( \left| \frac{K}{n} - x \right|>\delta \right) } = 0</math> |
: <math>\lim_{n \to \infty}{ P\left( \left| \frac{K}{n} - x \right|>\delta \right) } = 0</math> |
||
לכל |
לכל <math>\delta>0</math>. יתרה מכך, הקשר מתקיים במידה שווה ב-''x'', כפי שניתן להראות מההוכחה בעזרת [[אי-שוויון צ'בישב]], אם לוקחים בחשבון שהשונות של <math>K/n</math>, השווה ל-<math>x(1-x)/n</math>, חסומה מלמעלה על ידי <math>1/4n</math> ללא תלות ב-''x''. |
||
מכיוון ש |
מכיוון ש-ƒ, הרציפה על תחום סגור וחסום, חייבת להיות [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפה במידה שווה]] על התחום, ניתן לנסח את הטענה כי |
||
: <math>\lim_{n \to \infty}{ P\left( \left| f\left( \frac{K}{n} \right) - f\left( x \right) \right| > \varepsilon \right) } = 0</math> |
: <math>\lim_{n \to \infty}{ P\left( \left| f\left( \frac{K}{n} \right) - f\left( x \right) \right| > \varepsilon \right) } = 0</math> |
||
במידה שווה ב-''x''. אם לוקחים בחשבון ''ƒ'' חסום (בקטע נתון), ניתן לצפות ל: |
|||
: <math>\lim_{n \to \infty}{ E\left( \left| f\left( \frac{K}{n} \right) - f\left( x \right) \right| \right) } = 0</math> |
: <math>\lim_{n \to \infty}{ E\left( \left| f\left( \frac{K}{n} \right) - f\left( x \right) \right| \right) } = 0</math> |
||
במידה שווה ב-''x''. כאן אפשר לראות כי התוחלת מתחלקת לשני חלקים. בחלק אחד ההפרש אינו עולה על ε; חלק זה יכול לתרום יותר מאשר ε. בעל החלק השני ההפרש עולה על ε, אך אינו עולה על 2''M'', כאשר ''M'' מהווה חסם עליון ל-|(''ƒ''(x)|; חלק זה אינו יכול לתרום יותר מ-2''M'' פעמים את ההסתברות הקטנה כי ההפרש גדול מ-ε. |
|||
לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין |
לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין התוחלות לא עולה אף פעם על התוחלת של הערך המוחלט של ההפרש, וכן כי <math>E\left[f\left(K / n\right)\right]</math> הוא בדיוק פולינום ברנשטיין <math>B_n(f)(x)</math>. |
||
ראו לדוגמה.{{הערה| |
ראו לדוגמה.{{הערה|{{cite book|last1=Koralov|first1=Leonid|last2=Sinai|first2=Yakov G.|title=Theory of Probability and Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=tlWOphOFRgwC|date=10 August 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-68829-7}}; see page 29, Section "Probabilistic proof of the Weierstrass theorem".}} |
||
== ראו גם == |
== ראו גם == |
||
* [[עקום בזייה |
* [[עקום בזייה]] |
||
* [[אינטרפולציה#צורת לגראנז'|צורת לגראנז']] |
* [[אינטרפולציה#צורת לגראנז'|צורת לגראנז']] |
||
שורה 92: | שורה 92: | ||
== הערות שוליים == |
== הערות שוליים == |
||
{{הערות שוליים}} |
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}} |
||
[[קטגוריה:אנליזה נומרית]] |
[[קטגוריה:אנליזה נומרית]] |
גרסה מ־01:21, 10 באוקטובר 2017
בתחום האנליזה הנומרית, פולינום ברנשטיין, הקרוי על שם ממציאו, סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין, הוא פולינום בתצורת ברנשטיין, כלומר הוא מהווה צירוף לינארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין.
דרך יציבה מבחינה נומרית להעריך פולינומים בתצורת ברנשטיין היא בעזרת אלגוריתם דה-קסטלז'ו.
פולינומים בתצורת ברנשטיין היו בשימוש לראשונה על ידי ברנשטיין, בהוכחה קונסטרוקטיבית למשפט הקירוב של סטון–ויירשטראס. עם כניסת הגרפיקה הממוחשבת, הפכו פולינומי ברנשטיין (על הקטע החסום ) לשימושיים וחשובים ביצירת עקומות בזייה.
הגדרה
n + 1 פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n מוגדרים כך:
כאשר הוא המקדם הבינומי.
פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n יוצרים בסיס למרחב הווקטורי של פולינומים בדרגה של לכל היותר n.
צירוף לינארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין,
נקרא פולינום ברנשטיין או פולינום בתצורת ברנשטיין מדרגה n. מקדמי נקראים מקדמי ברנשטיין או מקדמי בזייר.
דוגמה
מספר פולינומי הבסיס הראשונים של ברנשטיין הם:
תכונות
לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות:
- , אם או .
- ו כאשר היא הדלתא של קרונקר.
- יש שורש עם כפילות בנקודה (הערה: אם , אין שורש ב-0).
- יש שורש עם כפילות בנקודה (הערה: אם , אין שורש ב-1).
- עבור .
- .
- הנגזרת יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר:
- האינטגרל קבוע עבור נתון:
- אם , אז בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול ב . המקסימום הנ"ל בעל הערך:
- פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה יוצרים חלוקת יחידה:
- אם לוקחים את האיבר הראשון של כאשר, ניתן להראות כי
- האיבר השני כאשר משמש להראות כי
- A פולינום ברנשטיין ניתן להיכתב כקומבינציה לינארית של פולינומים מדרגה גבוהה יותר:
קירוב פונקציות רציפות
נניח ש-ƒ פונקציה רציפה בקטע [0,1]. נבחן את פולינום ברנשטיין להלן:
ניתן להראות כי:
מתכנס במידה שווה בקטע [0,1].[1] זו הצהרה חזקה יותר מאשר ההנחה שהגבול קיים בנפרד בכל ערך של x; זו תהיה התכנסות נקודתית במקום התכנסות במידה שווה. באופן ספציפי, המילים "במידה שווה" מציינות:
פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים דרך אחת להוכיח את משפט הקירוב של ויירשטראס שכל פונקציה רציפה ממשית על הקטע הממשי [a,b] ניתנת להערכה במידה שווה על ידי פונקציות פולינום מעל R.[2]
טענה כללית יותר על פונקציה שגזירה ברציפות k פעמים היא:
כאשר בנוסף
הוא ערך עצמי של Bn; והפונקציה העצמית המקבילה היא פולינום מדרגה k.
הוכחה
נניח ש-K משתנה מקרי המפוזר כמספר ההצלחות מתוך n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות x של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות, k מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו-x. מכאן שערך התוחלת .
בעזרת הגרסה החלשה של חוק המספרים הגדולים מתורת ההסתברות,
לכל . יתרה מכך, הקשר מתקיים במידה שווה ב-x, כפי שניתן להראות מההוכחה בעזרת אי-שוויון צ'בישב, אם לוקחים בחשבון שהשונות של , השווה ל-, חסומה מלמעלה על ידי ללא תלות ב-x.
מכיוון ש-ƒ, הרציפה על תחום סגור וחסום, חייבת להיות רציפה במידה שווה על התחום, ניתן לנסח את הטענה כי
במידה שווה ב-x. אם לוקחים בחשבון ƒ חסום (בקטע נתון), ניתן לצפות ל:
במידה שווה ב-x. כאן אפשר לראות כי התוחלת מתחלקת לשני חלקים. בחלק אחד ההפרש אינו עולה על ε; חלק זה יכול לתרום יותר מאשר ε. בעל החלק השני ההפרש עולה על ε, אך אינו עולה על 2M, כאשר M מהווה חסם עליון ל-|(ƒ(x)|; חלק זה אינו יכול לתרום יותר מ-2M פעמים את ההסתברות הקטנה כי ההפרש גדול מ-ε.
לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין התוחלות לא עולה אף פעם על התוחלת של הערך המוחלט של ההפרש, וכן כי הוא בדיוק פולינום ברנשטיין .
ראו לדוגמה.[3]
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ Natanson (1964) p.6
- ^ Natanson (1964) p.3
- ^ Koralov, Leonid; Sinai, Yakov G. (10 באוגוסט 2007). Theory of Probability and Random Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-68829-7.
{{cite book}}
: (עזרה); see page 29, Section "Probabilistic proof of the Weierstrass theorem".