משפט הקירוב של ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה  f:[a,b] \to \mathbb{R} עבור קטע ממשי  [a,b] סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על  [a,b] המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום  [a,b] כלשהו, מסמנים ב- C([a,b]) את מרחב הפונקציות הרציפות \ f:[a,b] \to \mathbb{R} , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת L-אינסוף":  \| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]}|f(x)| . לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת L-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי  [a,b] צפוף במרחב  C([a,b]) תחת נורמת נורמת L-אינסוף.
מסקנה: המרחב C([a,b]) הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.
הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב C([a,b]).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב  C([a,b]) .

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה  p_k(x,n) = {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} .‏[1] קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

 \sum_{k=0}^n p_k(x,n) = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} = (x+(1-x))^n = 1

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל  0<\delta מתקיים אי השוויון:‏[2]

 \sum_{|{k \over n}-x| \geq \delta} p_k(x,n) \leq {1 \over n \delta^2} .

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה  f:[0,1] \to \mathbb{R} ,‏[3] לכל  0 < \epsilon קיים פולינום  g מתאים כך שמתקיים  \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)| < \epsilon .

אם כך, בהינתן פונקציה  f כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום  B_n(f(x)) = \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) . נראה שלכל  0 < \epsilon , לכל n מספיק גדול מתקיים כי  \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-B_n(x)| < \epsilon .


יהי  0<\epsilon . נזכור שהפונקציה  f רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי  M \in \mathbb{R} כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל  0 < \epsilon , בפרט עבור  { \epsilon \over 2} הנתון, קיים  0 < \delta מתאים כך שלכל  x,y \in [a,b] אם  |x-y| < \delta אז  |f(x)-f(y)| < { \epsilon \over 2} . נחשב:

 |B_n(f(x)) - f(x)| = |\sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) - f(x)| =

 = |\sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) - f(x) \cdot \sum_{k=0}^n p_k(x,n)| =

 = | \sum_{k=0}^n \left[ f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right] \cdot p_k(x,n) | \leq \sum_{k=0}^n \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) =

 = \sum_{|{k \over n}-x| < \delta} \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) + \sum_{|{k \over n}-x| \geq \delta} \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) <

 < \sum_{|{k \over n}-x| < \delta} { \epsilon \over 2} \cdot p_k(x,n) + 2M \cdot {1 \over n\delta^2} \leq

 \leq { \epsilon \over 2} \cdot \sum_{k=0}^n p_k(x,n) + 2M \cdot {1 \over n\delta^2} = { \epsilon \over 2} + 2M \cdot {1 \over n\delta^2}

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על  [0,1] , שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:

 |B_N(f(x)) - f(x)| < { \epsilon \over 2} + 2M \cdot {1 \over N\delta^2} < \epsilon

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי מפולג בינומית  \textrm{B}\left(n, p\right) .
  2. ^ שוויון זה הוא יישום של אי-שוויון צ'בישב להתפלגות בינומית.
  3. ^ כל קטע ממשי סגור וחסום הוא הומאומורפי לקטע [0,1].