איבר פרימיטיבי

בתורת השדות הסופיים ויישומיה, איבר פרימיטיבי הוא איבר של שדה סופי, היוצר את החבורה הכפלית של השדה. הפולינום המינימלי של איבר כזה נקרא פולינום פרימיטיבי (למרות שלמושג זה יש גם משמעויות אחרות).

בשדה הסופי מסדר q יש $\ \phi(q-1)$ איברים פרימיטיביים, כאשר $\ \phi$ היא פונקציית אוילר. לדוגמה, בשדה מסדר 8 (שהחבורה הכפלית שלו מסדר 7) כל האיברים פרט ל-0 ו-1 הם פרימיטיביים, ואילו בשדה מסדר 16 (שהחבורה הכפלית שלו מסדר 15) יש 8 איברים פרימטיביים.

במקרה של שדה סופי מסדר ראשוני p, החבורה הכפלית של השדה היא חבורת אוילר $\ U_{p}$. ניתן להכליל את המונח איבר פרימיטיבי לכל חבורת אוילר ציקלית; גאוס הוכיח ש-$\ U_n$ ציקלית עבור $\ n = 1,2,4,p^t,2p^t$ כאשר p ראשוני אי-זוגי, ובמקרה זה יש בחבורה $\ \phi(n)$ איברים שמהם $\ \phi(\phi(n))$ איברים פרימטיביים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.