בעיית השרשרת התלויה של ברנולי

בעיית השרשרת התלויה של ברנולי היא בעיה בתורת התנודות שנחקרה על ידי דניאל ברנולי בשנת 1732, אשר עוסקת בתיאור התנודות הקטנות של שרשרת (או כבל מתוח) התלויה מהתקרה, ביחס למצב שיווי המשקל שלה (המתקבל כאשר השרשרת לגמרי אנכית). חשיבותה ההיסטורית של הבעיה טמונה בכך שניסוח משוואת התנועה המכתיבה את תנודות השרשרת וחקירת הפתרונות היסודיים של המשוואה על ידי דניאל ברנולי הובילו לגילוי הראשוני של מחלקה של פונקציות מיוחדות חשובות הנקראות פונקציות בסל.

היסטוריה

בעיית השרשרת התלויה נחקרה לראשונה על ידי יוהאן ברנולי ב-1728. התנודות הקטנות של השרשרת האנכית נחקרו לאחר מכן על ידי בנו דניאל ברנולי במאמרו "משפטים על תנודות של גופים הקשורים דרך פתיל גמיש ועל השרשרת התלויה האנכית" מ-1732. דניאל ברנולי ניסח את משוואת התנודות הקטנות של השרשרת וחישב את פתרונותיה העצמיים (התואמים לאופני התנודה הבסיסיים של השרשרת), במה שהלכה למעשה מהווה הצגה ראשונית של פונקציות בסל וחקירה של השורשים שלה. במאמרו על השרשרת התלויה דניאל ברנולי חקר מתמטית גם את בעיית התנודות של שרשרת תלויה בעלת עובי לא אחיד, שבה פילוג המשקל של השרשרת אינו קבוע אלא נתון על ידי פונקציה כלשהי $\rho (x)$.

פונקציות בסל הופיעו לאחר מכן גם בעבודתו של לאונרד אוילר על התנודות של תופים עגולים, ובעבודתו של פרידריך בסל מ-1817 על בעיות אסטרונומיות הקשורות בפתרון משוואת קפלר. בסל סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בתכונות הפונקציה, ומשום כך היא נושאת את שמו.

תיאור הבעיה וניסוח משוואת התנודה של השרשרת

נתונה שרשרת אנכית בעלת צפיפות מסה אורכית אחידה $\rho$ ואורך $L$ שמונחת בשדה כובד אחיד שגודלו $g$, התלויה בקצה העליון שלה מהתקרה. נמקם את ראשית הצירים בקצה התחתון של השרשרת במצבה הטבעי, ונסמן את הציר האנכי כציר $x$ ואת הציר האופקי כציר $y$. כעת נניח שצורת השרשרת ההתחלתית, שנתייחס אליה כאל גרף הפונקציה $\psi (x,t)$, אינה הישר האנכי $y=0$. אז בעיית השרשרת התלויה של ברנולי דורשת לפתור את בעיית ההתחלה עבור מצב התחלתי שרירותי של צורת השרשרת ומהירויות המקטעים האינפיניטסימליים שלה, בהנחת שיפועים קטנים של השרשרת (כלומר ש-${\frac {\partial \psi }{\partial x}}<<1$). במילים אחרות, לתאר את המיקום של כל מקטע של השרשרת כפונקציה של הזמן.

פיתוח משוואת התנודה

במסגרת המחקר השיטתי של גלים מכניים בידי מתמטיקאים ופיזיקאים רבים בתקופה הפוסט-ניוטונית, הנושא של תיאור גלים ותנודות במיתר מתוח היה אחד הנושאים "החמים" ביותר, והוביל להתקדמויות רבות כמו ניסוח משוואת הגלים ופיתוח הכלים המתמטיים המשרתים את פתרונה כגון אנליזה הרמונית וטורי פורייה. בעיית השרשרת התלויה של ברנולי שונה באופיה ומשום שהמתיחות הנוצרת בשרשרת אינה נובעת מאיזשהו מאמץ מתיחה חיצוני המופעל על קצות המיתר, אלא כתוצאה ממשקלה העצמי, מה שגורר אי-אחידות במתיחות שנוצרת לאורכה. נפתח כעת את משוואת התנודה עבור בעיה זו.

מהחוק הראשון של ניוטון נובע שהמתיחות כפונקציה של הקואורדינטה האנכית, $T(x)$, שווה למשקל השרשרת שמתחתיה, כלומר:

$T(x)=\rho gx$,

בפרט, המתיחות היא אפס בקצה התחתון של השרשרת ומרבית בקצה העליון שלה. כעת, ההתנהגות המקומית של כל מקטע מצייתת לאותם כללים כמו אלו של גלים במיתר מתוח. כלומר, הכוח הכולל הפועל על מקטע שרשרת שווה להפרש בין הכוח האופקי שמפעיל עליו המקטע שמעליו לכוח האופקי המפעיל עליו המקטע שמתחתיו (הנחת השיפועים הקטנים גוררת שהפרש הכוחות האנכיים מתאפס). מן החוק השני של ניוטון נובע :

$\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\Delta x}}(T(x+\Delta x){\frac {\partial \psi (x+\Delta x,t)}{\partial x}}-T(x){\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}})$

ובגבול בו $\Delta x\rightarrow 0$ מקבלים:

$\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}(T(x){\frac {\partial \psi }{\partial x}})$

והצבת המתיחות $T(x)$ מניבה את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=g{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+gx{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}$

כאשר תנאי השפה הוא $\psi (L,t)=0$. בדומה לפתרון המתמטי עבור גלים עומדים במיתר קשור, ננחש פתרון מהצורה $\psi (x,t)=F(x)T(t)$ ("הפרדת משתנים" בין החלק המרחבי והזמני של הפתרון), ונקבל:

$F(x)T''(t)=gF'(x)T(t)+gxF''(x)T(t)\implies {\frac {T''}{T}}=g{\frac {F'+xF''}{F}}$

מכיוון שאגף שמאל תלוי בזמן בלבד ואגף ימין במקום בלבד, שוויון זה יכול להתקיים רק כאשר שני האגפים שווים לקבוע זהה, שאותו נסמן $-\omega ^{2}$. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית עבור החלק הזמני נותן $T(t)=\mathbb {cos} (\omega t+\phi )$, בעוד שהפתרון עבור החלק המרחבי מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה

$gx{\frac {d^{2}F}{dx^{2}}}+g{\frac {dF}{dx}}+\omega ^{2}F=0$.

אופני התנודה העצמיים, המתוארים מתמטית על ידי סדרת הפונקציות העצמיות של משוואה דיפרנציאלית רגילה זאת, תואמים לתנודות הרמוניות אופקיות של כל אחד ממקטעי השרשרת בתדירות עצמית $\omega _{n}$, כאשר משרעת התנודה של כל מקטע תלויה במיקומו על השרשרת באופן כזה שמעטפת התנודות של כל המקטעים היא פונקציית בסל מסדר אפס:

$\psi _{n}(x,t)=AJ_{0}(2\omega _{n}{\sqrt {\frac {x}{g}}})\mathbb {cos} (\omega _{n}t)$

כאשר התדירויות העצמיות "המותרות" נקבעות על ידי תנאי השפה, שכן צריך להתקיים $J_{0}(2\omega _{n}{\sqrt {\frac {L}{g}}})=0$. הפתרון הכללי ביותר של בעיית ההתחלה עבור השרשרת התלויה הוא סופרפוזיציה של פתרונות עצמיים.