טורוס

טורוס

הטורוס כמכפלת שני מעגלים

טורוס מנוקב מתהפך מבפנים החוצה

טורוס (מלטינית, torus, וברבים - tori) הוא גוף תלת-ממדי בצורת גליל טבעתי, ודומה לכעך, או לחלק הפנימי של גלגל הרכב. צורה כזו אפשר לקבל על ידי סיבוב מרחבי של מעגל, סביב ציר באותו מישור שאינו נוגע במעגל.

שטח הפנים של הטורוס נקרא גם הוא באותו שם. בטופולוגיה, מתארים את הטורוס הדו-ממדי כמרחב מנה של ריבוע, על ידי הדבקת זוגות הצלעות המקבילות באותו כיוון. במשחקי מחשב רבים (למשל פק-מן) מתואר המרחב שבו משחקים על ידי מפה מלבנית, שבה אפשר לעבור מן הקצה העליון לתחתון ולהפך, וכן מן הקצה הימני לשמאלי, ולהפך. מבחינה טופולוגית, עולם כזה הוא טורוס.

מכיוון שהריבוע הוא מכפלה של קטע אחד בקטע אחר, מרחב המנה המתקבל מזיהוי הצלעות המקבילות, גם הוא מרחב מכפלה - $\ S^1\times S^1$ כאשר $\ S^1$ הוא המעגל. הספירה היא היריעה הקומפקטית הניתנת לכיוון היחידה (עד כדי הומיאומורפיזם) שיש לה גנוס 0, והטורוס הוא היריעה היחידה מאותו סוג שיש לה גנוס 1. יריעות מכוונות בעלות גנוס גבוה יותר אפשר לבנות מהדבקת טורוסים זה לזה, לאורך מעגל משותף.

הצגה

טורוס ניתן לתאור פרמטרי בצורה הבאה:

$x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

כאשר u ו-v הם בקטע [0, 2π), ‏R הוא המרחק בין מרחק המעגל המסתובב למרכז הטורוס, ו-r הוא הרדיוס של המעגל המסתובב.

במערכת צירים קרטזית ניתן להגדיר את הטורוס באמצעות כל הנקודות שמקיימות את המשוואה הבאה:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

קישורים חיצוניים

• טורוס, באתר MathWorld (באנגלית)