יעקוביאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

באנליזה וקטורית, יעקוביאן הוא הדטרמיננטה של מטריצת יעקובי. הן ליעקוביאן והן למטריצת יעקובי חשיבות רבה כאשר עוסקים בהעתקות וקטוריות ותכונותיהן.

מטריצת יעקובי משמשת לתיאור הדיפרנציאל של העתקה וקטורית. מושג זה מכליל את מושג הנגזרת הקיים עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד. היעקוביאן משמש לתיאור ההתנהגות של העתקה, ואי התאפסותו הוא תנאי מספיק על מנת שההעתקה תקיים מספר תכונות מקומיות של חד חד ערכיות, הפיכות והעתקה של קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. כמו כן היעקוביאן נותן מדד לשינוי של גדלים במרחב כאשר משתמשים בהחלפת קוארדינטות.

היעקוביאן ומטריצת יעקובי נקראים על שם המתמטיקאי קרל גוסטב יעקב יעקבי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ F=(f_1,\ldots,f_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m פונקציה כלשהי שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא המטריצה מסדר \ m\times n הבאה:

\begin{bmatrix} \partial f_1 / \partial x_1 & \cdots & \partial f_1 / \partial x_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial f_m / \partial x_1 & \cdots & \partial f_m / \partial x_n \end{bmatrix}

כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא וקטור עמודה שמכיל את הגרדיאנטים של הרכיבים שלו (כלומר, כל שורה היא גרדיאנט).

היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו \ m=n (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך:

J_F(x_1,\ldots,x_n) \qquad \mbox{or}\qquad \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}

מסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מעבר משני משתנים בלתי תלויים x ו-y ל-u ו-v היעקוביאן הוא

\ \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}

אם x ו-y שני משתנים בלתי תלויים אזי

\ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y = \frac{\partial (f,y)}{\partial (x,y)}

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגרל של פונקציה מורכבת. לדוגמה: \ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינטגרציה באופן ישיר. לכן נסמן: \ w = \frac{z}{3}, \ v = \frac{y}{2} \ u = \frac{2x-y}{2}

הפונקציה החדשה שלנו היא \ u+w ונחשב את הגבולות שלה על ידי הצבת הגבולות הקודמים בסימונים החדשים:\ z = 3w ,\ y = 2v ,\ x = u+v

לדוגמה במקום הגבול \ x = \frac{y}{2} נציב \ u+v = \frac{2v}{2} = v ומכאן שנחליף את הגבול \ x = \frac{y}{2} בגבול \ u = 0

נחשב את היעקוביאן של הפונקציה:

J(u,v,w) =\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \\
 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\,
= 6

נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן \ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (u+w) \cdot |J(u,v,w)| du dv dw = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (6u+6w) du dv dw = 12

לסיכום: כדי למצוא אינטגרל של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה ביעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקצות הקטנות שהגדרנו.