קונבולוציה

קונבולוציה היא פעולה בינארית בין שתי פונקציות או סדרות ערכים, שיש לה שימושים בהתמרות אינטגרליות כדוגמת התמרת פורייה, בעיבוד אותות, בסטטיסטיקה ובתחומים נוספים. מקובל לסמן את הקונבולוציה בסימון $\ *$.

הגדרה

קונבולוציה של פונקציות

הקונבולוציה (f(t בין שתי הפונקציות (h(t ו-(g(t גם היא פונקציה של t והיא מוגדרת כך:

$f(t) = (h*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)g(\tau)d\tau$

הקונבולוציה בין הסדרות הבדידות [h[n ו-[g[n מוגדרת:

$f[n] = (h*g)[n] = \sum_{m \in Z}^{} h[n-m]g[m]$

הקונבולוציה היא סך השטח הכלוא מתחת למכפלת שתי הפונקציות כאשר אחת מהן משוקפת סביב הציר האנכי ומוזזת ב-t. המשתנה t לאו דווקא מסמל זמן, ובתחומים שונים הפונקציות הן של משתנים שונים. ניתן להתייחס לקונבולוציה כממוצע נע משוקלל: (f(t היא הממוצע של הפונקציה (g(τ לפי פונקציית המשקל (h(-τ המוזזת ב-t (או המשתנה עם הזמן).

קונבולוציה של סדרות

הקונבולוציה של הסדרות $\ (a_n)$ ו-$\ (b_n)$ היא הסדרה $\ (a*b)_n = a_0 b_n + a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$. בדומה לזה מוגדרת קונבולוציה של טורים כטור המתאים לקונבולוציה של הסדרות המתאימות. לפי משפט קושי (תורת הטורים), הקונבולוציה של טורים המתכנסים בהחלט מתכנסת בהחלט.

קונבולוציה מעגלית

אם הפונקציה $g_T(t)$ היא מחזורית עם מחזור T, כך שניתן לכתוב אותה כסכום:

$g_T(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty g(t + kT)$

אז הקונבולוציה של $g_T(t)$ עם פונקציה $h(t)$ שאינה מחזורית גם היא מחזורית עם מחזור T וניתן לרשום אותה כך:

$f(t) = (h * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\, d\tau,$

ניתן לראות זאת כסכימה של השטח מתחת למכפלת מחזור אחד של $g_T(t)$ בהזזות של הפונקציה (h(t, במקום סכימה של השטח מתחת למכפלה של הזזות של מחזור אחד של הפונקציה $g(t)$ בפונקציה $h(t)$. $(h * g_T)(t)$ נקראת הקונבולוציה המעגלית או הקונבולוציה הציקלית של $h(t)$ ו-$g(t)$. כלומר, הקונבולוציה המעגלית של שתי פונקציות שאינן מחזוריות היא קונבולוציה רגילה בין הפונקציה האחת לבין פונקציה מחזורית שמחזור שלה זהה לקטע מן הפונקציה השניה.

אם נגדיר פונקציה מחזורית $h_T(t)$ כפונקציה שמחזור שלה זהה לקטע מהפונקציה $h(t)$:

$h_T(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty h(t + kT)$

אז ניתן לכתוב את הפונקציה $(h * g_T)(t)$ כך:

$\int_{t_0}^{t_0+T} h_T(\tau) g_T(t - \tau)\, d\tau,$

והיא נקראת הקונבולוציה המחזורית של $h_T(t)$ ו-$g_T(t)$. כלומר, הקונבולוציה המחזורית של שתי פונקציות מחזוריות עם מחזור משותף T דומה לקונבולוציה רגילה, אלא שהאינטגרציה נעשית על פני זמן באורך של מחזור אחד T, כאשר t_o שרירותי.

תכונות

הקונבולוציה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, ודיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. לכן היא הופכת את מרחבי הפונקציות שבהן היא מוגדרת לאלגברה קומוטטיבית. הסגירות ביחס לפעולת הקונבולוציה תלויה באוסף הפונקציות: הקונבולוציה של פונקציות רציפות היא רציפה; הקונבולוציה של פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית. הדלתא של דיראק, שאינה פונקציה, משמשת כאיבר יחידה: $\left(f*\delta\right)(t)=f(t)$.

הנגזרת של קונבולוציה מקיימת: $\frac{d}{dt}({h} * g) = \frac{dh}{dt} * g = {h} * \frac{dg}{dt} \,$

משפט הקונבולוציה

משפט הקונבולוציה קובע שהתמרת פורייה של קונבולוציה בין שתי פונקציות היא מכפלת ההתמרות שלהן: $\mathcal{F}\{h*g\} = \sqrt{2 \pi} \cdot \mathcal{F}\{h\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$, כאשר $\mathcal{F}\{f\}$ מסמלת הפעלת התמרת פורייה והקבוע $\sqrt{2 \pi}$ משתנה בהתאם לנרמול ההתמרה.

המשוואה ההפוכה היא: $\mathcal{F}\{h \cdot g\}=\frac{\mathcal{F}\{h\}*\mathcal{F}\{g\}}{\sqrt{2\pi}}$.

כמו כן, ניתן לכתוב: $h*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{h\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\}$. משפט הקונבולוציה שימושי מאוד משום שהפעלת מכפלה (אף לאחר חישוב התמרות פורייה) מסובכת הרבה פחות מאשר חישוב הקונבולוציה לפי הגדרתה, וכך היא מחושבת באופן נומרי. משפטים מקבילים קיימים עבור התמרת לפלס והתמרת Z.

שימושים

• במשוואות דיפרנציאליות לינאריות לא-הומוגניות, ניתן לכתוב את הפתרון כקונבולוציה בין החלק הלא-הומוגני של המשוואה לבין פונקציית גרין שלה.
• באופן דומה בהנדסת חשמל, היציאה של מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן היא קונבולוציה בין הכניסה אליה לבין תגובת ההלם שלה.
• בפיזיקה, עבור מערכות לינאריות המקיימות את עקרון הסופרפוזיציה, מחושבת זו על ידי קונבולוציה (הנקראת גם אינטגרל סופרפוזיציה). לדוגמה, השדה החשמלי הנוצר על ידי התפלגות מטען הוא קונבולוציה בין פונקציית צפיפות המטען לבין ההופכי של ריבוע גודל וקטור ההעתק לנקודה בה מחושב השדה. זוהי סופרפוזיציה של שדות הנוצרים על ידי מטענים נקודתיים.
• בהסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של סכום של שני משתנים מקריים בלתי תלויים היא קונבולוציה בין פונקציות צפיפות ההסתברות של כל אחד מהם.
• בסטטיסטיקה, ממוצע נע משוקלל הוא קונבולוציה בין סדרת נתונים לבין פונקציית משקל. בנוסף, הקונבולוציה בין שתי פונקציות משמשת כמדד למתאם ההדדי ביניהן.

ראו גם

• קונבולוציית דיריכלה

קישורים חיצוניים

• אפליקציית Java המדגימה את המשמעות הגרפית של קונבולוציה.