מידה (מתמטיקה)

במתמטיקה מידה היא פונקציה המתאימה מספר אי-שלילי לתת-קבוצות של מרחב נתון, ומקיימת תכונות שימושיות מסוימות (פירוט בהמשך). מושג המידה מכליל את המושגים הטבעיים של אורך ונפח, ולכן יש לו תפקיד מרכזי באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות.

תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות ואינטגרלים.

הגדרה פורמלית

מידה $\ \mu : \mathcal{A} \to [0,\infty]$ היא פונקציה המוגדרת על סיגמא-אלגברה $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ שמכילה תתי-קבוצות של X. הפונקציה נדרשת לקיים את התכונות הבאות, הנקראות אקסיומות המידה:

1. לקבוצה הריקה יש מידה אפס.
   $\ \mu(\emptyset) = 0$
2. סיגמא-אדיטיביות (אדיטיביות ניתנת להימנות):
   יהיו $\ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A}$ מספר בן מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: $\ \forall i \ne j : A_i \cap A_j = \emptyset$ .
   אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
   $\ \mu \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)}$ או ברישום מקוצר: $\ \mu \left( \biguplus_{n}{A_n} \right) = \sum_{n}{\mu(A_n)}$
   
   

פונקציה $\ \mu : \mathcal{A} \to \mathbb{C}$ בעלת שתי תכונות אלה נקראת מידה מרוכבת. לעתים, על מנת להדגיש שטווחה של מידה מסוימת הוא $[0,\infty]$ אומרים שהיא מידה חיובית (על אף שהיא יכולה להחזיר את 0 כערך).

שלשה $\ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right)$ שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).

תכונות של מידה

מתכונת ההגדרה של הסיגמא האדטיבית לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות:

• מונוטוניות ביחס להכלה:

  אם $\ A \subseteq B$ אזי $\ \mu(A) \leq \mu(B)$.

• סיגמא תת-אדיטיביות (או חצי אדיטיביות):

יהיו $\ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A}$ מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי

$\ \mu \left( \bigcup_{n}{A_n} \right) \leq \sum_{n}{\mu(A_n)}$

• רציפות מלמטה:

תהי סדרת קבוצות $\ A_1 \subset A_2 \subset \cdots A_n \subset A_{n+1} \cdots$ , אזי מתקיים:

$\ \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )$

• רציפות מלמעלה:

תהי סדרת קבוצות $\ A_1 \supset A_2 \supset \cdots A_n \supset A_{n+1} \cdots$ ונניח ש-$\mu (A_i) < \infty$ עבור i טבעי אחד לפחות , אזי מתקיים:

$\ \mu \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )$

תכונות נוספות של מידה

יהי $\ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right)$ מרחב מידה.

מידה סיגמא-סופית

מידה נקראת סופית אם $\ \mu(X) < \infty$ (מידת מרחב המדגם עצמו סופית).

מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה סופית.

לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי $\ \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}{[ n , n+1 ] }$ ומידת כל קטע סגור $\ [ n, n+1 ]$ היא 1.

לדיון מפורט במושגים אלה ראו מידה סיגמא-סופית.

מידה רגולרית

מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי X נקראת רגולרית אם מתקיים

$\ \mu(A) = \inf\left\{ \mu(G) \ | \ A \subset G \ , \mbox{G is open} \right\} = \sup\left\{ \mu(F) \ | \ F \subset A \ , \ \mbox{F is closed} \right\}$

לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.

מידה שלמה

מידה חיובית היא שלמה אם לכל קבוצה בעלת מידה אפס E, כלומר $\ \mu(E) = 0$, תת-הקבוצות שלה כולן מדידות (ומידתן, בהכרח, אפס).

לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר: $\ \mu ( S \Delta S' ) = 0$ כאשר $\Delta$ הוא הפרש סימטרי של קבוצות.

לדוגמה: מידת לבג היא ההשלמה הסטנדרטית של מידת האורך על הישר הממשי.

מידה לא-אטומית

היחידון $\ \left\{ x \right\}$ הוא אטום של המידה $\ \mu$ אם $\ \mu(x)>0$. באופן כללי יותר, כל קבוצה בעלת מידה חיובית, שאין לה תת-קבוצות ממידה חיובית וקטנה משלה, נקראת אטום. לדוגמה: מידת דיראק היא מידת הסתברות בעלת האטום $\ \left\{ 0 \right\}$.

מידה שאין לה אטומים נקראת מידה לא-אטומית. לדוגמה, מידת לבג היא מידה לא-אטומית. למידת האר של חבורה קומפקטית אינסופית אין אטומים.

ראו גם

מידות שימושיות:

• מידת לבג על הישר הממשי (הכללה של מושג האורך)
• מידת הסתברות, ראה אקסיומות ההסתברות.
• מידת האר
• מידה מרוכבת
• מידה הטלתית
• מידה פריקה

מושגים באנליזה ממשית:

• כמעט בכל מקום
• אינטגרל לבג

ידע נדרש:

• תורת הקבוצות
• קבוצה בת מנייה
• עוצמה אינסופית
• אנליזה מתמטית

קישורים חיצוניים

• מארק שוורצמן, איך באות מידות לעולם?, באתר "מהומה רבה על לא דבר"