הפרש סימטרי

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות שעבור שתי קבוצות $\ A$ ו-$\ B$ היא מחזירה קבוצה $\ C$ המורכבת מכל איברי $\ A$ שלא שייכים ל-$\ B$ וכל איברי $\ B$ שלא שייכים ל-$\ A$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן $\ \Delta$ מוגדר כדלהלן:

$\ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$

תכונות

• הפעולה היא פעולה קומוטטיבית: $\ A \Delta B = B \Delta A$
• זוהי פעולה אסוציאטיבית: $\ (A \Delta B)\Delta C = A \Delta (B \Delta C)$

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם X קבוצה, אז קבוצת החזקה $\ P(X)$, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה $\ x^2 = x$ לכל x.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• מונחים בתורת הקבוצות

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • קבוצת החזקה • מכפלה קרטזית • יחס • יחס שקילות • פונקציה • עוצמה • קבוצה בת מנייה • האלכסון של קנטור • משפט קנטור שרדר ברנשטיין • השערת הרצף • הפרדוקס של ראסל • סדר חלקי • מספר סודר • הלמה של צורן • אקסיומת הבחירה

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.