ממוצע אריתמטי-גאומטרי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים הוא ערך-ביניים המתקבל מהחלפה חוזרת של המספרים בממוצע האריתמטי והגאומטרי שלהם. התהליך נחקר בתחילה על ידי לגראנז' וגאוס, ובתחילת המאה ה-19 השתמש בו לז'נדר כדי לחשב אינטגרלים אליפטיים.

הגדרה

אם $\ a, b$ הם מספרים (ממשיים) חיוביים, הממוצע האריתמטי-גאומטרי שלהם הוא הגבול המשותף של הסדרות $\ a_n, b_n$, המוגדרות ברקורסיה על-פי הנוסחאות:

• $\ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע אריתמטי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

• $\ b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$ (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע גאומטרי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

כאשר $\ a_0 = a$ ו- $\ b_0 =b$. מקובל לסמן את הממוצע ב- $\ M(a,b)$.

דוגמה

כדי למצוא את הממוצע אריתמטי-גאומטרי של a₀ = 24 ושל b₀ = 6, נחשב תחילה את הממוצע האריתמטי והממוצע הגאומטרי שלהם:

$a_1=\tfrac12(24+6)=15,$

$b_1=\sqrt{24 \times 6}=12,$

נמשיך בתהליך האיטרציה ונחשב:

$a_2=\tfrac12(15+12)=13.5,$

$b_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots,$

וכך הלאה.

ארבעת הצעדים הראשונים נותנים את הערכים הבאים:

n	an	bn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.41640786500...
3	13.45820393250...	13.45813903099...
4	13.45817148175...	13.45817148171...

תכונות

קל להוכיח ש- $\ b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n$ לכל $\ n>0$, ואם $\ b<a$, הממוצע מקיים $\ b<M(a,b)<a$.

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה $\ M$ הומוגנית מסדר 1 (כלומר, $\ M(\lambda a,\lambda b) = \lambda M(a,b)$; לכן, אם מגדירים $\ f(x) = M(1,x)$, אפשר לשחזר את $\ M$ לפי הזהות $\ M(a,b)=a\cdot f(b/a)$. בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי $\ M(a,b) = M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})$; במלים אחרות, $\ f(x) = \frac{1+x}{2} \cdot f(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})$.

ב-30 במאי 1799 הבחין גאוס שהערכים $\ \frac{1}{M(1,\sqrt{2})}$ ו- $\ \frac{2}{\pi}\int_0^1{\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}}$ מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "הקבוע של גאוס"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של המאה ה-19. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית, $\ \frac{1}{M(1,x)} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-x^2)\sin^2\theta}}$, ובכך הניח את היסוד לעבודתם של אבל ויעקובי על אינטגרלים של פונקציות אלגבריות.

ראו גם

• פונקציות תטא
• אלגוריתם גאוס-לז'נדר

מקורות

• J.M. Borwein and P. B. Borwein, Pi and the AGM, 1987.