פונקציה הומוגנית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר n היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c, ערך הפונקציה מוכפל ב־cn .

הגדרה מפורטת[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי  f : V \rightarrow W פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה  F , ויהי k מספר שלם אזי הפונקציה  f תיקרא הומוגנית מסדר k אם  f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) לכל  \alpha \in F שונה מאפס, ולכל  v \in V .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר k כאשר הדרישה  f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) צריכה להתקיים רק עבור  \alpha חיובי, וk יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל העתקה לינארית  f : V \rightarrow W היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הלינאריות:  f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v}) לכל  \alpha \in F ולכל  v \in V .

פולינומים הומוגניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מונום (חד איבר) בn משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית  f: F^n \rightarrow F . לדוגמה שטח של ריבוע - \ S \left( a \right)=a^2 - הוא מונום הומוגני  f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} . מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר \ S \left( ca \right)=c^2 a^2.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר יוצרים פולינום הומוגני. לדוגמה:  \ x^5 + 2 x^3 y^2+9 x y^4 הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם f הוא פולינום הומוגני מסדר m וg הוא פולינום הומוגני מסדר n, אזי  \frac {f}{g} היא פונקציה הומוגנית מסדר m-n בכל הנקודות חוץ מבשורשים של g.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון:  \frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z)^2}, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - \ E_k \left( m, v \right)= \frac{1}{2} m v^2 - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - E_k \left( m, cv \right)=\frac{1}{2}mc^2v^2, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים E_k \left( cm, v \right)=\frac{1}{2}cmv^2.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר זמן t נתון על ידי \ N \left( cN_0, t, \tau \right)=N_0 \cdot e^{- \frac {t}{\tau}} ובעוד שמתקיים \ N \left( cN_0, t, \tau \right)=cN \left( N_0, t, \tau \right), קרי N היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור N0 הרי אין n כך שיתקיים \ N \left( N_0, ct, \tau \right)=c^n N \left( N_0, t, \tau \right) או \ N \left( N_0, t, c\tau \right)=c^n N \left( N_0, t, \tau \right).

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי  f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} פונקציה חלקה אזי f הומוגנית חיובית מסדר k אם ורק אם:

\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= \sum_{i=1}^n x_i \frac {\partial f}{\partial x_i} = kf(\mathbf{x}) .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

 \Leftarrow תהי  f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: \ f(a \mathbf{x}) = a^{k}f(\mathbf{x}) . נגזור את שני האגפים לפי a ונקבל:  \frac{df(a \mathbf{x})}{da} = \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x}) = k a^{k-1} f(\mathbf{x}) .

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל \ a , נציב \ a=1 ונקבל:  \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) .

 \Rightarrow תהי  f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} פונקציה חלקה המקיימת  \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) לכל  \mathbf{x} .

נבחר  \mathbf{x} כלשהו ונגדיר: \ g(a) = a^{-k} f(a \mathbf{x}) .

כעת:  \frac{dg}{da} = - ka^{-k-1} f(a \mathbf{x}) + a^{-k} \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x}) .

נציב:  a \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x}) = k f(a \mathbf{x}) .

ונקבל:  \frac{dg}{da} = -ka^{-k-1} f(a \mathbf{x}) + a^{-k} \frac{kf(a \mathbf{x})}{a} = 0 . לכן \ g היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: \ g(1) = f( \mathbf{x}) לכן לכל \ a>0 מתקיים \ g(a)= f(\mathbf{x}) . כלומר  f(a \mathbf{x}) = a^k f(\mathbf{x}) [1]

תוצאה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה  f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} גזירה והומוגנית חיובית מסדר k נקבל ש: \frac{\partial f}{\partial x_i} היא הומוגנית מסדר k-1. כלומר:

 \left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right |_{cx} = c^{k-1} \left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right |_x .

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי  \ x_i . שכן על פי משפט אוילר:

\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})=  kf(\mathbf{x}) .

נגזור לפי  \ x_i ונקבל:

  \frac{\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}))}{\partial x_i}  =  \frac {\partial f}{\partial x_i} + \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = k \frac{\partial f}{\partial x_i} .

ולכן:

 \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = (k-1) \frac{\partial f}{\partial x_i} . הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ המשפט לא תקף עבור \ a<0 משום שg לא מוגדרת בנקודה \ a=0 .