פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר n היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c, ערך הפונקציה מוכפל ב־cⁿ .

הגדרה מפורטת

תהי $f : V \rightarrow W$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $F$, ויהי k מספר שלם אזי הפונקציה $f$ תיקרא הומוגנית מסדר k אם $f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})$ לכל $\alpha \in F$ שונה מאפס, ולכל $v \in V$.

כאשר המרחבים הוקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר k כאשר הדרישה $f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})$ צריכה להתקיים רק עבור $\alpha$ חיובי, וk יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות

העתקות לינאריות

כל העתקה לינארית $f : V \rightarrow W$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הלינאריות: $f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})$ לכל $\alpha \in F$ ולכל $v \in V$.

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד איבר) בn משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $f: F^n \rightarrow F$. לדוגמה שטח של ריבוע - $\ S \left( a \right)=a^2$ - הוא מונום הומוגני $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $\ S \left( ca \right)=c^2 a^2$.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר יוצרים פולינום הומוגני. לדוגמא: $\ x^5 + 2 x^3 y^2+9 x y^4$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם f הוא פולינום הומוגני מסדר m וg הוא פולינום הומוגני מסדר n, אזי $\frac {f}{g}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר m-n בכל הנקודות חוץ מבשורשים של g.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כמו לדוגמא: $\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z)^2}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - $\ E_k \left( m, v \right)= \frac{1}{2} m v^2$ - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - $E_k \left( m, cv \right)=\frac{1}{2}mc^2v^2$, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $E_k \left( cm, v \right)=\frac{1}{2}cmv^2$.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר זמן t נתון על ידי $\ N \left( cN_0, t, \tau \right)=N_0 \cdot e^{- \frac {t}{\tau}}$ ובעוד שמתקיים $\ N \left( cN_0, t, \tau \right)=cN \left( N_0, t, \tau \right)$, קרי N היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור N₀ הרי אין n כך שיתקיים $\ N \left( N_0, ct, \tau \right)=c^n N \left( N_0, t, \tau \right)$ או $\ N \left( N_0, t, c\tau \right)=c^n N \left( N_0, t, \tau \right)$.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

ניסוח המשפט

תהי $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה אזי f הומוגנית חיובית מסדר k אם ורק אם:

$\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= \sum_{i=1}^n x_i \frac {\partial f}{\partial x_i} = kf(\mathbf{x})$.

הוכחה

$\Leftarrow$ תהי $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: $\ f(a \mathbf{x}) = a^{k}f(\mathbf{x})$. נגזור את שני האגפים לפי a ונקבל: $\frac{df(a \mathbf{x})}{da} = \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x}) = k a^{k-1} f(\mathbf{x})$.

נציב $\ a=1$ ונקבל: $\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x})$.

$\Rightarrow$ תהי $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה המקיימת $\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x})$ לכל $\mathbf{x}$.

נבחר $\mathbf{x}$ כלשהו ונגדיר: $\ g(a) = a^{-k} f(a \mathbf{x})$.

כעת: $\frac{dg}{da} = - ka^{-k-1} f(a \mathbf{x}) + a^{-k} \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x})$.

נציב: $a \mathbf{x} \cdot \nabla f(a \mathbf{x}) = k f(a \mathbf{x})$.

ונקבל: $\frac{dg}{da} = -ka^{k-1} f(a \mathbf{x}) + a^{-k} \frac{kf(a \mathbf{x})}{a} = 0$. לכן $\ g$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: $\ g(1) = f( \mathbf{x})$ לכן לכל $\ a>0$ מתקיים $\ g(a)= f(\mathbf{x})$. כלומר $f(a \mathbf{x}) = a^k f(\mathbf{x})$ ‏

תוצאה

עבור פונקציה $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר k נקבל ש: $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ היא הומוגנית מסדר k-1. כלומר:

$\left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right |_{cx} = c^{k-1} \left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right |_x$.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $\ x_i$. שכן על פי משפט אוילר:

$\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x})$.

נגזור לפי $\ x_i$ ונקבל:

$\frac{\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}))}{\partial x_i} = \frac {\partial f}{\partial x_i} + \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = k \frac{\partial f}{\partial x_i}$.

ולכן:

$\mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = (k-1) \frac{\partial f}{\partial x_i}$. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.