כלל לופיטל

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל לופיטל הוא כלל המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה $\textstyle \frac{ \infty}{ \infty}$ או $\textstyle \frac{0}{0}$, באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי. טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה $\ 0 \cdot \infty$ ,$\ 1^{\infty}$ או $\ \infty^0$.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו המרקיז דה לופיטל היה הראשון לפרסם אותו בספר.

כלל לופיטל

נניח כי $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$ הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או $\ \pm \infty$). אם $\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0$ והגבול $\,L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ קיים, אז גם הגבול $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ קיים, ושווה לו.

גבולות נוספים

הכלל נכון, ללא שינוי, גם אם $\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty$.

בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה $0\cdot\infty, 1^\infty$: נניח כי $\ f(x)\rarr 0, g(x)\rarr\infty$ ואנו רוצים לחשב את $\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)$

אז $f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\rarr\frac{0}{0},f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\rarr\frac{\infty}{\infty}$

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי $\ f(x)\rarr 1,g(x)\rarr\infty$ ואנו רוצים לחשב את $\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}$.

אז מתקיים:

$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}\exp{\left( \ln(f(x)^{g(x)}) \right) }= \exp{\left( \lim_{x \to a}g(x)\ln{f(x)} \right)}$

וכעת יש במעריך גבול מהצורה $0\cdot\infty$ שבו כבר יודעים לטפל.

דוגמאות

• לכל n טבעי, נחשב את הגבול xⁿ חלקי e^x כאשר x שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:

$\ \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty}\frac{n!}{e^x} = 0$

זאת כי $\ \left( e^x \right) ' = e^x$ והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.

• דוגמה נוספת:

$\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1)^2 }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 2(x-1) }{1/x } = 0$

זאת כי $\ \left( \ln x \right) ' = 1/x$.

• דוגמה נוספת:

$\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1) }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 1 }{1/x } = 1$

בכך הוכחנו שעבור מספרים $\ u << 1$ מתקיים $\ \ln(1+u) \approx u$.

• לא תמיד כדאי להשתמש בכלל לופיטל, למשל בדוגמה שלהלן:

$\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}$

מאחר ש e^lnx=x אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:

$\ \left( e^{\ln x} \right) ' = e^{\ln x} / x$ ו $\ (x)' = 1$

אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:

$\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}/x}{1} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}$

כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.

• יש להיזהר גם מהוכחות מעגליות. למשל מפתה לחשב את הגבול הבא לפי כלל לופיטל:

$\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}$

מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל מכלל לופיטל:

$\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1}=1$

אולם זוהי הוכחה מעגלית שאינה תקפה, מכיוון שכדי להוכיח כי קוסינוס הוא הנגזרת של סינוס, עושים שימוש בגבול זה (תלוי כמובן באיך מגדירים את סינוס). לכן יש להוכיחו קודם ישירות.

ראו גם

• גבול (מתמטיקה)
• נגזרת
• משפט שטולץ

קישורים חיצוניים

• הוכחה לכלל לופיטל באתר Planet Math (באנגלית)