טרפז

טרפז

טרפז ישר זווית

ערך זה עוסק במרובע טרפז. אם התכוונתם לפירושים אחרים למילה טרפז, ראו טרפז (פירושונים).

על פי ההגדרה המרחיבה, טרפז הוא מרובע אשר לו שתי צלעות נגדיות מקבילות (אין שום תנאי על הצלעות האחרות). אם גם שתי הצלעות האחרות מקבילות זו לזו, הרי שהטרפז הוא מקבילית. במקורות רבים מוגדר הטרפז בצורה מצמצמת, כ"מרובע אשר לו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות" (ראו דיון נרחב בהמשך ערך זה), ולפי הגדרה זו המקבילית איננה טרפז.

בטרפז שאיננו מקבילית, שתי הצלעות המקבילות נקראות "בסיסי הטרפז" (לפעמים קרויה "בסיס" רק הצלע הארוכה יותר), ושתי האחרות "שוקי הטרפז". בטרפז כזה ניתן להמשיך את שתי הצלעות הלא מקבילות עד שהן ייפגשו בנקודה, ובצורה זו נוצר משולש המכיל את הטרפז.

מרובע הוא טרפז אם ורק אם יש לו שתי זוויות סמוכות שסכומן 180 מעלות (או π רדיאנים).

טרפז נקרא שווה שוקיים אם אלכסוניו שווים, משום שאז שתי הצלעות האחרות שוות בארכן, וזוויות כל בסיס משני צידיו, שוות. טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא שווה שוקיים. אם שתי השוקיים שוות באורכן, הטרפז הוא או שווה שוקיים או מקבילית.

את שטח הטרפז ניתן לחשב כמכפלת המרחק בין שתי הצלעות המקבילות (זהו גובה הטרפז) והממוצע החשבוני של אורך הצלעות הללו. דבר זה מוביל לנוסחה הידועה של שטח משולש, כאשר אנו מחשיבים את המשולש כטרפז שאחת הצלעות המקבילות כווצה לנקודה בודדת (כלומר אורך 0). נוסחאות לחישוב שטח טרפז כלשהו (כאשר a,b - בסיסים ; c,d צלעות):

$S= \frac{(a + b)h}{2}$

או

$S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}$

כאשר a,b,c,d צלעות טרפז.

קטע אמצעים בטרפז, הוא קטע אשר מחבר בין אמצעי שוקי הטרפז. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסי הטרפז ואורכו הוא ממוצע האורכים שלהם.

הגדרה מצמצמת לטרפז

מקורות רבים העוסקים בגאומטריה (ובהם האנציקלופדיה העברית והאתר של משרד החינוך בישראל), מגדירים טרפז כ"מרובע אשר לו זוג צלעות מקבילות, וזוג צלעות שאינן מקבילות" (או, "מרובע אשר לו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות"). הגדרה זו מוציאה את המקבילית ממשפחת הטרפזים, ויש לה מספר חסרונות בולטים:

משפחות מרובעים: מן הכלל אל הפרט

• בעוד שכל ריבוע הוא סוג מיוחד של מלבן וכל מעוין הוא סוג מיוחד של דלתון, הרי על-פי ההגדרה המצמצמת, המעוין איננו טרפז. בין משפחות המרובעים שוררים יחסי הכלה, וההגדרה המצמצמת הופכת את הטרפזים לחריג.
• כמעט בכל משפט העוסק בטרפזים, התוצאה נכונה גם עבור מקביליות. ההגדרה שהובאה בתחילת הערך מאפשרת לנסח את שתי התוצאות במשפט אחד, בעוד שבהגדרה המצמצמת יש צורך לחזור על הטענה (וההוכחה) פעמיים, שלא לצורך.
• כל סוגי המרובעים מוגדרים על-פי שוויון (צלעות שוות, זוויות שוות, זווית ישרה), ורק הגדרה מצמצמת של הטרפז תדרוש אי-שוויון.
• הסעת קודקוד אחד של הטרפז לאורך אחת הצלעות המקבילות תשמור על תכונות הטרפז עד ששניים מקודקודיו מתלכדים. הגדרה מצמצמת תוסיף לתהליך כזה נקודה מיוחדת שבה הטרפז חדל לרגע מלהיות טרפז - תופעה שאין לה אח ורע במשפחות המרובעים האחרות (וגם לא בהגדרות גאומטריות כלליות יותר).

עם כל זאת, יודגש שאין משמעות לשאלה איזו הגדרה "נכונה" יותר. הגדרות (המנוסחות כראוי) אינן יכולות להיות נכונות או שגויות - הגדרה נבחנת בכך שהיא מפשטת את הדיון במונחים שאליהם היא מתייחסת.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: טרפז

• טרפז, באתר MathWorld (באנגלית)