קבוצה צפופה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, תת-קבוצה A של מרחב טופולוגי X היא קבוצה צפופה, אם כל קבוצה פתוחה ב-X (לא ריקה) מכילה איבר מתוך A. תכונה זו שקולה לכך שהסגור של A שווה למרחב כולו.

אם X מרחב מטרי פירושו של דבר שניתן להתקרב כרצוננו לכל נקודה ב-X בעזרת נקודות מ-A: לכל נקודה x ב-X ולכל \epsilon חיובי יש נקודה a ב-A המרוחקת מ-x לא יותר מ-\epsilon.

מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה נקרא מרחב ספרבילי.

לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בישר הממשי, שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים (זוהי תכונת הארכימדיות של הממשיים). לכן השדה הממשי ספרבילי.