פונקציה אליפטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה אליפטית היא פונקציה מרוכבת מרומורפית בעלת שני מחזורים בלתי תלויים מעל R. ניתן להתייחס לפונקציות כאלו גם כאל פונקציות ממקבילית אל המישור המרוכב, או מטורוס אל המישור המרוכב. מקור שמן הוא מכך שהן נחקרו לראשונה כשגילו פונקציה הפוכה לאינטגרל אליפטי (שעוזר בחישוב אורך קשת של אליפסה).

קבוצת הפונקציות האליפטיות מהווה שדה, שהוא בעצמו הרחבה לשדה המרוכבים (הוא מכיל אותם כפונקציות הקבועות). מכיוון שטורוס הוא מרחב קומפקטי ומכיוון שכל פונקציה אנליטית היא בפרט רציפה, לפי משפט ויירשטרס היא מקבלת מקסימום על הטורוס, ואז בגלל משפט ליוביל היא בהכרח קבועה. בעזרת משפט השארית ניתן להראות בקלות גם כי אין פונקציה בעלת קוטב יחיד פשוט שהיא אליפטית.

עובדה זו גרמה לחיפוש אחר פונקציות אליפטיות שהן לא קבועות. דרך אחת שהוצעה היא זו של פונקציית תטא של יעקובי - שהיא אנליטית אבל רק "קוואזי-מחזורית" (מחזורית עד כדי קבוע שנוסף כל מחזור), ודרך אחרת היא זו של פונקציית P של ויירשטרס שהיא לא אנליטית אבל כן מחזורית.

משפט אבל-יעקובי נותן דרך פשוטה לבדוק האם יכולה להיות פונקציה אליפטית בעלת קטבים ואפסים מסוימים: ראשית - מספר הקטבים (כולל ריבוי) צריכה להיות שווה למספר האפסים (כולל ריבוי). שנית - שסכום הנקודות (כנקודות במישור המרוכב) יהיה הראשית, כאשר קטבים נלקחים עם סימן מינוס ואפסים עם סימן פלוס (שניהם - עם ריבוי).