מספר מדומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר מדומה (או "מספר דמיוני" הפחות מקובל) הוא מספר מרוכב שריבועו הוא מספר ממשי שלילי. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה \ ib, כאשר \ b הוא מספר ממשי, ו-\ i הוא "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני השורשים, \ i ו-\ -i של מינוס אחת: \ i^2=-1).

כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש בשדה המספרים הממשיים. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, \ i, ושילובו בשדה המספרים הממשיים, מתקבל שדה גדול יותר, הנקרא "שדה המספרים המרוכבים"; המספרים המרוכבים הם כולם מן הצורה \ a+ib כאשר \ a, b מספרים ממשיים. שדה המספרים המרוכבים סגור להוצאת שורש בכלל, ולהוצאת שורש ריבועי בפרט.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי בשדה המספרים הממשיים, מתמטיקאים התייחסו אל משוואה כגון \!\, x^2+1=0 כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר ג'ירולמו קרדאנו גילה, בתחילת המאה ה-16, שהדרך לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.

בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת 1572, על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". את האות i, שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר אוילר ב-1777; פיזיקאים מעדיפים לסמן מספר זה באות j, כדי לא להתנגש עם האות המייצגת זרם.

מאפיינים אלגבריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה \ ib כאשר \ b הוא מספר ממשי, סגורה תחת חיבור: \ bi+b'i=(b+b')iחבורה חיבורית, הקבוצה איזומורפית לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת כפל, משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.

פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית: \ i^{i a} = (e^{\frac{\pi i}{2}})^{ia} = e^{- \frac{ \pi a}{2}}.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Paul Nahin, An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of -1 (Princeton University Press, 1998).