קוטב (אנליזה מרוכבת)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסוים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה, בה הפונקציה שואפת לאינסוף בערכה המוחלט.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקודה \ z_0 היא קוטב של פונקציה מרוכבת \ f(z), אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים  \ \lim _{z\to z_0}f(z)=\infty .

המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול \ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z) קיים (וסופי), נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול  \ Res_{z_0}f=\lim _{z\to z_0}(z-z_0)f(z).

תכונות של קטבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית \ (z-z_0)^{-n}. כלומר, \ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k. באופן שקול, יש  \ n כך שלפונקציה  \ (z-z_0)^nf(z) יש נקודה סינגולרית סליקה ב- \ z_0.

הגבול \ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L, עבור \ k\isin\mathbb{Z} מקבל את הערכים הבאים:

  1. \ L=\infty אם \ k<n.
  2. \ L=c_{-n} אם \ k=n.
  3. \ L=0 אם \ k>n.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. לפונקציה \ f(z)=\frac{1}{z^n} קיים קוטב מסדר \ n בנקודה \ z=0.
  2. לפונקציה \ f(z)=\frac{1}{1-\cos z} קיים קוטב מסדר \ 2 בנקודה \ z=0. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של \ \cos z הוא: \ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots, ולכן \ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}.
  3. לפונקציה \ f(z)=e^{1/z} אין קוטב בנקודה \ z=0 אלא סינגולריות עיקרית.

כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו בספירת רימן), הנקודה \ z=\infty נחשבת לקוטב של \ f(z) מאותו סוג וסדר של הקוטב \ z=0 בפונקציה \ f(1/z).

מונחים קשורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה