פונקציית גרין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פונקציית גרין היא פונקציה המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות לא-הומוגניות עם תנאי שפה נתונים, והיא שימושית לפתרון בעיות בפיזיקה ובהנדסת חשמל. הפונקציה נקראת על שם ג'ורג' גרין, מתמטיקאי בריטי אשר פיתח את הרעיון בשנות ה-30 של המאה ה-19.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית גרין, (G(x, s של אופרטור דיפרנציאלי לינארי \hat{L} היא פתרון של המשוואה:

\hat{L} G(x,s) = \delta(x-s)

כאשר \!\ \delta(x-s) היא פונקציית דלתא של דיראק המוזזת ב-s.

אם ממד הגרעין של האופרטור \hat{L} שונה מאפס פונקציית גרין אינה יחידה, אך למעשה תנאי השפה וסימטריות נותנים פתרון יחיד.

השימוש בפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בפונקציית גרין כדי לפתור משוואות מהצורה:

\hat{L} u(x) = f(x)

פונקציית גרין היא פתרון המשוואה עבור \!\ f(x)=\delta(x-s), ובעזרתה ניתן למצוא את פתרון המשוואה \!\ u(x).

לאחר מציאת פונקציית גרין נכפיל את שני אגפי המשוואה המגדירה אותה ב (f(s ונבצע אינטגרציה על כל תחום ההגדרה שלה לקבלת:

\int \hat{L} G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).

זהו אינטגרל קונבולוציה. נציב במקום (f(x את האופרטור כפי במוגדר במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל:

\hat{L}u(x) = \int \hat{L} G(x,s) f(s) ds

מאחר שהאופרטור \hat{L} לינארי ופועל על x בלבד (ולא על משתנה האינטגרציה s) נוכל להוציא אותו מהאינטגרל באגף ימין:

\hat{L}u(x) = \hat{L} \left(\int G(x,s) f(s) ds\right).

מכאן ניתן לזהות את הפתרון:

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds .

כלומר, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית תלוי רק בפונקציית גרין של המשוואה ובאיבר הלא-המוגני. פונקציית גרין של האופרטור \hat{L} נותנת את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית שהוא מגדיר עבור כל פונקציה \!\ f(x).

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השימוש העיקרי בפונקציית גרין במתמטיקה הוא לפתרון בעיות שפה אי-הומוגניות.

במקרה שבו האופרטור \hat{L} בלתי תלוי מפורשות במשתנה התלוי (לדוגמה, הוא מכיל רק נגזרות לפי x אך לא כפל בפונקציות של x) - פונקציית גרין תלויה רק בהפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר היא פונקציה של משתנה אחד:

\ G(x,s) = G(x-s)

במקרה כזה, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הלא הומוגנית שווה לקונבולוציה בין האיבר הלא הומוגני לבין פונקציית גרין:

u(x) = (G*f)(x) = \int {G(x-s) f(s) ds} .

בהנדסת חשמל, פונקציית גרין היא הבסיס לעקרון התגובה להלם. מערכת לינארית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית, כאשר האיבר הלא הומוגני הוא פונקציית הכניסה למערכת ופתרון המשוואה הוא היציאה של המערכת. פונקציית הדלתא של דיראק נקראת פונקציית הלם ופונקציית גרין של המשוואה נקראת תגובת ההלם של המערכת משום שהיא יציאת המערכת עבור כניסת הלם. למערכות לינאריות בלתי משתנות בזמן יש תגובה להלם שתלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת פונקציית ההלם. במקרה כזה התגובה להלם שימושית במיוחד משום שבעזרתה ניתן לחשב את יציאת המערכת לכל כניסה באמצעות קונבולוציה בינה לבין פונקציית הכניסה, פעולה שניתן לבצע ביעילות בעזרת התמרת פורייה.

פונקציית גרין משמשת גם בתחומים רבים בפיזיקה: בפיזיקה של חומר מעובה לפתירת משוואת הדיפוזיה, באלקטרומגנטיות לפתרון משוואת פואסון, במכניקת הקוונטים לפתרון משוואת שרדינגר ובפיזיקה תאורטית מודרנית לתיאור תהליכים על ידי דיאגרמות פיינמן.

משפט גרין[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \hat{L} אופרטור שטורם ליוביל - אופרטור דיפרנציאלי לינארי מהצורה:

 \hat{L} = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)

כאשר תנאי השפה ניתנים על ידי אופרטור תנאי השפה D:

 \hat{D}u = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(\ell) + \beta _2 u(\ell). \end{matrix}\right.

ותהי (f(x פונקציה רציפה בתחום \ [0,\ell].

אזי ישנו פתרון אחד ויחיד (u(x המקיים:

 \begin{matrix}\hat{L}u = f \\ \hat{D}u = 0 \end{matrix}

והוא נתון על ידי:

 u(x) = \int_0^\ell  G(x,s) f(s) \, ds

כאשר, (G(x,s היא פונקציית גרין המקיימת את התנאים הבאים:

  1. (G(x,s רציפה ב-x וב-s.
  2. לכל  x \ne s מתקיים:  \hat{L} G( x, s ) = 0 \,.
  3. לכל  s \ne 0, \ell מתקיים:  \hat{D} G( x, s ) = 0 \,.
  4. "קפיצה" בנגזרת:  G'(s_{ + 0}, s ) - G'(s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s). \,.
  5. סימטריה:  G(s,x) = G(x,s) \,.

דוגמה למציאת פונקציית גרין[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

\!\ u ' ' + u = f( x )

עם תנאי השפה:

 u(0) = 0, \quad \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

פונקציית גרין של הבעיה היא הפונקציה המקיימת את המשוואה:

 \ G'' + G=\delta(x-s).

עבור כל \!\ x \ne s פונקציית הדלתא מחזירה אפס ומתקבלת משוואה דיפרנציאלית הומוגנית שהפתרון הכללי שלה הוא:

 G(x,s) = A \cos x  + B \sin x.\,

עבור \!\ x < s נציב את תנאי השפה ב-\!\ x=0:

 G(0,s) = c_1 \cdot 1  + c_2 \cdot 0 = 0, \quad \Rightarrow \ c_1 = 0 .

עבור \!\ x > s נציב את תנאי השפה ב-\!\ x=\pi/2:

 G\left(\frac{\pi}{2},s\right) = c_3 \cdot 0  + c_4 \cdot 1 = 0, \quad \Rightarrow \ c_4 = 0 .

מכאן שפונקציית גרין היא מהצורה:

 G(x,s)=\left\{\begin{matrix} 
c_2 \sin x, \;\; x < s \\
c_3 \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.

ונותר לקבוע מהם המקדמים c_2 ו-c_3.

מרציפות פונקציית גרין ב-x=s\,\! נובע ש-

 c_2 \sin s = c_3 \cos s.\,

הנגזרת הראשונה של הפתרון אינה רציפה: מבצעים אינטגרציה על שני אגפי המד"ר מ-x=s-\varepsilon עד x=s+\varepsilon ולוקחים את הגבול \varepsilon \to 0. האינטגרל על פונקציית הדלתא הוא פונקציית מדרגה, ומהקפיצה שלה מקבלים את התנאי הבא:

 c_3 \cdot [ - \sin s ] - c_2 \cdot \cos s = 1\, .

מקבלת מערכת משוואות עבור c_2 ו-c_3 הפתרון שלה הוא:

 c_2 = - \cos s  \quad ; \quad c_3 = - \sin s .

פונקציית גרין של הבעיה היא:

 G(x,s)=\left\{\begin{matrix}
-\cos s \cdot \sin x, \;\; x < s, \\
- \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x.
\end{matrix}\right.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]