מספר p-אדי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות , ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

,

עשויים המקדמים להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח , והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים , שבהם אין חזקות שליליות של p.

מרחק בין שני מספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש - ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם אזי כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים . כמו כן, מגדירים . המטריקה היא . תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי ונסתכל על המספר

נחבר לו את המספר 1, נקבל

שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

ולכן

במקרה הכללי מתקיים ש-. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן ולכן

כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של בהצגה הפיאדית של .

הצגת מספר רציונלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהיפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, . אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, . לכן הסכום לעיל מתכנס ל- .

השבר המצומצם הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר , ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

כך שלכל  : (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

  • הם מקיימים
  • או באופן שקול, המעבר מ- ל- נעשה על ידי .

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים . אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

  • חיבור:
  • כפל:

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ).
זהו חוג עם אפס ויחידה . יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן .

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

או בנוסחה מפורשת:

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: ).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר . אוסף ההעתקות הרציפות מ- למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]