משפט הגרדיאנט

במתמטיקה, בעיקר באנליזה וקטורית, משפט הגרדיאנט, ידע גם בתור המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור אינטגרל כפול, הוא משפט חשוב מאוד בתחום האנליזה הווקטורית, ובכלל באנליזה מתמטית, ומשמש כהכללה למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור כל מישור או עקומה n-ממדית.

המשפט: בהינתן פונקציה $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ועקומה $\gamma$ מנקודה p לנקודה q, אז:

$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

כאשר $\nabla \varphi$ מסמל את הגרדיאנט של הפונקציה $\varphi$. המשפט חשוב מאוד כי ניתן להבין ממנו כי ניתן לתאר כל שדה וקטורי משמר כהגרדיאנט של שדה סקלרי.

הוכחה

ידוע כי אם φ היא פונקציה גזירה, מתת קבוצה פתוחה U של Rⁿ ל-R, ואם r היא פונקציה גזירה מאינטרוול ממשי [a,b] ל-U, אז על פי כלל השרשרת, הפונקציה φ ∘ r היא פונקציה גזירה בתחום (a, b) ומתקיים

${\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

לכל t בתחום (a, b).

עכשיו נניח כי בתחום U קיימת עקומה גזירה γ בעלת נקודות קיצון p ו-q. אם r מייצג פרמטר של γ עבור כל t בתחום [a, b], אז ניתן לראות מטענה הנ"ל כי

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))dt=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\end{aligned}}$

כאשר השוויון הראשון נובע מההגדרה של אינטגרל קווי, השוויון השלישי נובע מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

גרסה מורחבת

ישנה גרסה מורחבת של משפט הגרדיאנט אשר עוסקת בשדות וקטורים. יהי $F=(F_{1},F_{2})$ שדה וקטורי חלק ב-$\mathbb {R} ^{2}$. אז התנאים הבאים שקולים:

1. קיימת פונקציה חלקה $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ כך שמתקיים לכל p, $\nabla _{p}f=F(p)$.
2. לכל p, ${\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}_{p}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}_{p}$.
3. לכל עקום חלק $\Gamma$ במישור, האיטגרל $\int _{\Gamma }F_{1}dx+F_{2}dy$ תלוי רק בקצוות העקום.
4. לכל עקום חלק וסגור $\Gamma$ במישור, האיטגרל $\int _{\Gamma }F_{1}dx+F_{2}dy=0$.

הנוסחה למעלה נובעת מהשקילות תנאים אלו. הגרסה המורחבת גם נכונה עבור שדות וקטורים מממדים יותר גבוהים.