הרחבת גלואה

הרחבת גלואה היא הרחבה נורמלית וספרבילית של שדות. הרחבות כאלו הן אבן הפינה של תורת גלואה, משום שיש להן חבורות גלואה מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. המשפט היסודי של תורת גלואה מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.

הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה אם ורק אם F הוא שדה השבת החלקי ל-K של חבורת כל האוטומורפיזמים של K מעל F. אם נסמן חבורה זו ב-$G_{K/F}$ אזי $F=K^{G_{K/F}}$.

כל שדה פיצול של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.

כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת סְגור גלואה של ההרחבה המקורית.

אם K/F היא הרחבת גלואה אזי $|\mathrm {Gal} (K/F)|=\left[K:F\right]$.

דוגמאות

1. כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.

2. נסמן ב- $\ \alpha ={\sqrt[{4}]{2}}$ את השורש הרביעי של 2. השדה $\ L=\mathbb {Q} [\alpha ]$ אינו הרחבת גלואה של $\ \mathbb {Q}$, משום שההרחבה אינה נורמלית: $\ \alpha$ הוא שורש של הפולינום $\ x^{4}-2$, שהוא אי-פריק (לפי קריטריון אייזנשטיין) אבל השורש $\ i\alpha$ אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים $\ L_{0}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$. סגור גלואה של ההרחבה $\ L/\mathbb {Q}$ מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-$\ \mathbb {Q}$, ושווה משום כך ל- $\ K=\mathbb {Q} [\alpha ,i\alpha ,-\alpha ,-i\alpha ]=\mathbb {Q} [\alpha ,i]$. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא החבורה הדיהדרלית מאותו סדר.

הכללה להרחבות של חוגים

בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת הרחבת גלואה של R אם S מודול פרויקטיבי מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל אידמפוטנט e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל $\ \sigma \neq 1$ קיים $\ x\in S$ כך ש-$\ (\sigma (x)-x)e\neq 0$). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה $\ S=K\times \cdots \times K$ היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של $\ \operatorname {Gal} (K/F)$ ופעולה טרנזיטיבית רגולרית על העותקים של K. לדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה $\ R[x]/\langle f(x)\rangle$ כאשר הפולינום f פולינום מתוקן והדיסקרימיננטה שלו היא איבר הפיך של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים $\ \mathbb {Z}$ היא $\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.

קישורים חיצוניים

• הרחבת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)