קבוצה פורשת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, יאמר על קבוצת וקטורים \ S שהיא קבוצה פורשת (או קבוצת יוצרים) של מרחב וקטורי \ V, אם כל וקטור במרחב ניתן להצגה כצירוף לינארי של וקטורים השייכים ל-\ S. בניסוח מעט יותר פורמלי: קבוצה \ S במרחב וקטורי \ V פורשת את \ V אם ורק אם כל וקטור \ v\isin V ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי \ S.

קבוצת כל הצירופים הלינאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה \ A מסומנת ב\ Sp(A). (קיצור של המילה Span, פרישה באנגלית). ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה \ A". בהתאם לכך, \ S פורשת את \ V אם ורק אם \ V=Sp(S).

מעניין להתבונן גם בקבוצה "מינימלית" של וקטורים הפורשת מרחב מסוים. הכוונה ב"מינימלית" היא לכך שאם משמיטים מן הקבוצה וקטור, הקבוצה כבר אינה פורשת. ניתן להראות שאם הקבוצה אינה מינימלית, קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף לינארי של האחרים, כלומר הקבוצה תלויה לינארית, ואם הקבוצה היא מינימלית, אזי היא בלתי תלויה. לפיכך, קבוצה פורשת מינימלית היא בסיס למרחב הווקטורי.