קבוצה פורשת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

קבוצה פורשת (או קבוצת יוצרים) היא קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציגם כצירוף ליניארי כל וקטור במרחב הנפרש.

קבוצת כל הצירופים הליניאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה מסומנת ב. (קיצור של המילה Span, פרישה באנגלית). ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה ". בהתאם לכך, פורשת את אם ורק אם .

קבוצה פורשת מינימלית, או קבוצה פורשת בלתי תלויה, מהווה בסיס למרחב הווקטורי. אם משמיטים מקבוצה כזו וקטור אחד (או יותר), היא כבר לא פורשת. אם קבוצה זו אינה מינימלית אז קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף ליניארי של האחרים ולכן היא תלויה ליניארית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הקבוצה פורשת את קבוצת המספרים הממשיים, מפני שכל מספר ממשי הוא צירוף ליניארי שלה (כי לכל מספר ממשי קיים כך ש- ). בדומה, כל קבוצה של מספרים ממשיים (למשל , או ) פורשת את קבוצת כל המספרים הממשיים ׁ(אבל לאו דווקא פורשת מינימלית), למעט הקבוצה הריקה ויחידון האפס ().
  • הקבוצה פורשת את המרחב , כי לכל , קיים כך ש- .

בהתאם לדוגמאות שלעיל נוכל לסמן:

  • .

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]