ממוצע אריתמטי-גאומטרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים הוא ערך-ביניים המתקבל מהחלפה חוזרת של המספרים בממוצע האריתמטי והגאומטרי שלהם. התהליך נחקר בתחילה על ידי לגראנז' וגאוס, ובתחילת המאה ה-19 השתמש בו לז'נדר כדי לחשב אינטגרלים אליפטיים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ a, b הם מספרים (ממשיים) חיוביים, הממוצע האריתמטי-גאומטרי שלהם הוא הגבול המשותף של הסדרות \ a_n, b_n, המוגדרות ברקורסיה על-פי הנוסחאות:

  • \ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע אריתמטי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),
  • \ b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע גאומטרי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

כאשר \ a_0 = a ו- \ b_0 =b. מקובל לסמן את הממוצע ב- \ M(a,b).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי למצוא את הממוצע אריתמטי-גאומטרי של a0 = 24 ושל b0 = 6, נחשב תחילה את הממוצע האריתמטי והממוצע הגאומטרי שלהם:

a_1=\tfrac12(24+6)=15,
b_1=\sqrt{24 \times 6}=12,

נמשיך בתהליך האיטרציה ונחשב:

a_2=\tfrac12(15+12)=13.5,
b_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots,

וכך הלאה.

ארבעת הצעדים הראשונים נותנים את הערכים הבאים:

n an bn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.41640786500...
3 13.45820393250... 13.45813903099...
4 13.45817148175... 13.45817148171...

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל להוכיח ש- \ b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n לכל \ n>0, ואם \ b<a, הממוצע מקיים \ b<M(a,b)<a.

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה \ M הומוגנית מסדר 1 (כלומר, \ M(\lambda a,\lambda b) = \lambda M(a,b); לכן, אם מגדירים \ f(x) = M(1,x), אפשר לשחזר את \ M לפי הזהות \ M(a,b)=a\cdot f(b/a). בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי \ M(a,b) = M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}); במלים אחרות, \ f(x) = \frac{1+x}{2} \cdot f(\frac{2\sqrt{x}}{1+x}).

ב-30 במאי 1799 הבחין גאוס שהערכים \ \frac{1}{M(1,\sqrt{2})} ו- \ \frac{2}{\pi}\int_0^1{\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}} מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "הקבוע של גאוס"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של המאה ה-19. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית, \ \frac{1}{M(1,x)} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-x^2)\sin^2\theta}}, ובכך הניח את היסוד לעבודתם של אבל ויעקובי על אינטגרלים של פונקציות אלגבריות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • J.M. Borwein and P. B. Borwein, Pi and the AGM, 1987.