ממוצע אריתמטי-גאומטרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים הוא ערך-ביניים המתקבל מהחלפה חוזרת של המספרים בממוצע האריתמטי והגאומטרי שלהם. התהליך נחקר בתחילה על ידי לגראנז' וגאוס, ובתחילת המאה ה-19 השתמש בו לז'נדר כדי לחשב אינטגרלים אליפטיים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הם מספרים (ממשיים) חיוביים, הממוצע האריתמטי-גאומטרי שלהם הוא הגבול המשותף של הסדרות , המוגדרות ברקורסיה על-פי הנוסחאות:

  • (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע אריתמטי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),
  • (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע גאומטרי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

כאשר ו- . מקובל לסמן את הממוצע ב- .

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי למצוא את הממוצע אריתמטי-גאומטרי של a0 = 24 ושל b0 = 6, נחשב תחילה את הממוצע האריתמטי והממוצע הגאומטרי שלהם:

נמשיך בתהליך האיטרציה ונחשב:

וכך הלאה.

ארבעת הצעדים הראשונים נותנים את הערכים הבאים:

n an bn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.41640786500...
3 13.45820393250... 13.45813903099...
4 13.45817148175... 13.45817148171...

הערכים מתקרבים זה לזה במהירות, וגבולם המשותף הוא הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג המספרים המקוריים.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הממוצע האריתמטי-גאומטרי של מספרים ממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל להוכיח (אי שוויון הממוצעים) ש- לכל , ואם , הממוצע מתכנס לגבול ממשי מסוים, בהתאם ללמה של קנטור, ומקיים .

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה הומוגנית מסדר 1 (כלומר, ; לכן, אם מגדירים , אפשר לשחזר את לפי הזהות . בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי ; במלים אחרות, .

ב-30 במאי 1799 הבחין גאוס שהערכים ו- מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "הקבוע של גאוס"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של המאה ה-19. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית, , ובכך הניח את היסוד לעבודתם של אבל ויעקובי על אינטגרלים של פונקציות אלגבריות.

הממוצע האריתמטי-גאומטרי של מספרים מרוכבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעוד הקשרים שנמצאו בין הממוצע האריתמטי גאומטרי של מספרים ממשיים לאינטגרלים אליפטיים הוליכו לפתרון כמה מן הבעיות הקשות באנליזה של המאה ה-18, חקר הממוצע האריתמטי גאומטרי של זוג מספרים (a,b) משדה המספרים המרוכבים הוליך לכמה מההתפתחויות המעמיקות ביותר במתמטיקה של המאה ה-19. מסתבר שבעבור שני מספרים מרוכבים, הממוצע האריתמטי גאומטרי הופך לפונקציה רב ערכית (Multi-valued function), כלומר לפונקציה שמקבלת אינסוף ערכים עבור כל זוג מספרים שמציבים בה. הסיבה לכך נעוצה בכך שהשורש הריבועי של מכפלת המספרים מקבל שני ערכים בכל פעם, כך שלא מקבלים אפשרות אחת לסדרה אלא דווקא אינסוף הסתעפויות, שמתוכן רק חלק מקבלות ערך שונה מאפס. מתברר שכאשר בוחרים בכל איטרציה בתור ממוצע גאומטרי את הערך הקרוב יותר לממוצע החשבוני (זו הבחירה ה"נכונה", כביכול), זוג הסדרות מתכנס לאותו ערך כמו במקרה הממשי. על ידי ביצוע מספר סופי של "שגיאות" מכוונות בהוצאת השורש, ניתן לקבל ערכים שונים של . מבין הערכים השונים של ניתן להגדיר ערך מסוים כ"פשוט ביותר", והוא הערך שמתקבל כאשר כל הבחירות נכונות. התוצאה העמוקה הבאה של גאוס קובעת את הקשר בין הערך היסודי (הערך הפשוט ביותר) של הממוצע האריתמטי גאומטרי לכל הערכים האפשריים האחרים שלו:

משפט. יהיו a,b שני מספרים מרוכבים המקיימים , ויהיו ו- הערכים הפשוטים ביותר של ו- בהתאמה. אז כל הערכים האפשריים של ניתנים על ידי הנוסחה:

כאשר ו- הם שני מספרים טבעיים זרים שרירותיים המקיימים ו- .

הוכחה של ההצגה האינטגרלית של גאוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה שמובאת להלן ניתנה לראשונה על ידי גאוס. יהי האינטגרל:

ההוכחה של גאוס מבוססת על הצבת משתנים גאונית - נחליף את משתנה האינטגרציה במשתנה חדש שמקיים:

ונקבל לאחר פישוט אלגברי ארוך ומסובך ש-::

אם נביט בביטוי תחת סימן האינטגרל נשים לב לאנלוגיה בינו לתכונות הממוצע האריתמטי-גאומטרי; הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים שווה לממוצע האריתמטי-גאומטרי של הממוצעים האריתמטיים והגאומטריים שלהם. לפיכך נקבל:

השוויון האחרון נובע מההבחנה ש-.

לבסוף, קיבלנו את התוצאה המבוקשת:

.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • J.M. Borwein and P. B. Borwein, Pi and the AGM, 1987.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]