משוואת לנז'בן

בפיזיקה, משוואת לַנזֶ'בָן (Langevin) היא משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית, המתארת התפתחות לפי זמן של מערכת בעלת דרגות חופש. דרגות חופש אלו, מאופיינות בדרך כלל על ידי משתנים בעלי תכונות קולקטיביות הנעים בפרקי זמן ארוכים מאוד ביחס למשתנים אחרים במערכת, המתנהגים באופן מהיר מאוד או לא סדור.

לעיתים קרובות, ניתן לתאר באמצעות משוואה זו מערכות מקרוסקופיות בעלות חלק מיקרוסקופי, המשתנה בפרקי זמן קצרים מאוד ביחס למערכת הנמדדת. משוואה זו נוסחה לראשונה על ידי פול לנז'בן ב-1908, בניסיונו לתאר תנועה בראונית, הכוללת תנועה אקראית של חלקיק בנוזל עקב תנודות תרמיות סביב שיווי משקל. כיום, נעשה שימוש נרחב במשוואת לנז'בן, עבור מערכות בעלות משתנים סטוכסטיים בתחומי הפיזיקה הסטטיסטית, ביופיזיקה וכימיה בפרט.

היסטוריה

תנועה בראונית

התיעוד הראשון של תנועה בראונית הייתה על ידי רוברט בראון (בוטניקאי) ב-1827. בראון ראה, כי אבקנים שנעו על פני מים, תחת מיקרוסקופ, מבצעים תנועה לא יציבה ורנדומלית. הראשון לתת הסבר מתמטי ופיזיקלי לכך היה אלברט איינשטיין, אשר הסביר זאת במאמרו ב-1905. באותו מאמר, תוך הנחת שיווי משקל בנוזל, שילב איינשטיין בין התפלגות מקסוול בולצמן לתהליך של הילוך מקרי.

איינשטיין טען, כי כאשר חלקיק נמצא בתוך נוזל, ולא חל עליו כוח גרר, אז בהינתן התנגשות עם מולקולה אחרת, מהירותו תשתנה. לעומת זאת, אם תווך הנוזל הוא בעל רמה מספיקה של צמיגות, השינוי במהירות ידעך מהר מאוד, כך שסך התוצאה של ההתנגשות יצור שינוי בהעתק החלקיק בלבד. למעשה, איינשטיין הסיק שתרומה של כל ההתנגשויות תביא ל"קפיצות" רנדומליות במיקום החלקיק הבראוני- כך שהחלקיק יבצע הילוך מקרי. בלקיחת "קפיצות" אינפיטסימליות, הוא הגיע למשוואה דיפרנציאלית חלקית במימד אחד- שהיא משוואת דיפוזיה. איינשטיין הצליח למצוא את הקשר בין קבוע הדיפוזיה המקרוסקופי, לתכונותיו האטומיות של החומר:

$D={k_{B}T \over 6\pi \eta r}$

כאשר $D$ הוא קבוע הדיפוזיה, $k_{B}$ הוא קבוע בולצמן, $T$ מייצגת את הטמפרטורה, $\eta$ הוא מקדם הצמיגות של הנוזל, ו-$r$ הוא הרדיוס של החלקיק הבראוני. אופי המשוואה הדיפרנציאלית החלקית אליה הגיע איינשטיין (כמו גם מריאן סמולוכובסקי , שעל שמו נקראת המשוואה), היא מקרה פרטי של משוואה מסוג המוכר כמשוואות פוקר-פלאנק - המראות התפתחות בזמן של צפיפות הסתברות של מערכת. בפתרונו, הצליח איינשטיין להראות, שריבוע הערך הממוצע של העתק החלקיק הוא פרופורציונלי לקבוע של הדיפוזיה. בכך הגיע איינשטיין לתוצאה מהפכנית, והראה (תוך שימוש בהתפלגות מקסוול-בולצמן בשיווי משקל), כי המשוואה עבור צפיפות ההסתברות תתפתח באופן ליניארי בזמן. פרט זה חשוב במיוחד, מכיוון שכך התפתחות זו תלויה בטמפרטורה וצמיגות הנוזל בלבד.

הצגת משוואת לנז'בן

התיאוריה שפיתחו סמולוכובסקי ואיינשטיין עבור התנועה הבראונית, נשענה כמעט לחלוטין על התפלגות צפיפות ההסתברות, ועל משוואות פוקר-פלאנק. ב-1908, הציג פול לנז'בן במאמרו "על התיאוריה של תנועה בראונית", דרך שונה לפתרון בעיה זו. לנז'בן, ניסח את הבעיה באמצעות משוואת כוחות ניוטונית, המכילה חלק "דטרמיניסטי" (המכיל את כוח הגרר של חלקיק הנמצא בנוזל, ופוטנציאלים נוספים וידועים) וחלק אקראי- אשר מייצג את ההתנגשויות של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני. אותו חלק רנדומלי, בדיעבד אינו ניתן למדידה, עקב פרקי הזמן הקצרים ביותר בהם נעשות ההתנגשויות השונות. גישתו של לנז'בן הייתה מהפכנית בזמנו, וקידמה משמעותית את נושא המחקר של משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות, הן בפיזיקה והן במתמטיקה. בשנות ה-20 של המאה ה-20, נתן נורברט וינר את הניסוח המתמטי והגדיר תנועה בראונית, כמקרה פרטי של מערכת סטוכסטית. כמו כן הוכיח שתנועה בראונית מוגדרת על ידי פונקציה רציפה, שאינה גזירה באף נקודה. ב-1942, הגדיר קיושו איטו את האינטגרל הסטוכסטי- המבוסס גם הוא על תנועה בראונית.

משוואת לנז'בן אינרטית במימד אחד

משוואת לנז'בן במימד אחד, על פי החוק השני של ניוטון עבור תנועה של חלקיק בראוני בנוזל, היא:

$m{dx^{2} \over dt^{2}}=-\xi {dx \over dt}-{dU \over dx}+R(t)$

כאשר החלק הדטרמיניסטי מכיל את האיברים:

• $-{dU \over dx}$ – הכוח המאפיין פוטנציאלים שונים (כוח אלקטרומגנטי, כוח גרביטציוני וכו'). חלק זה אינו מופיע בפיתוח המשוואה עבור חלקיק בראוני בנוזל של לנז'בן, עקב תרומתן הזניחה של השפעות אלו.
• $-\xi {dx \over dt}$ – כוח הגרר בנוזל, בדרך כלל מאופיין על ידי חוק סטוקס, הקובע כי כוח הגרר מתכונתי למהירות החלקיק (ראה חוק סטוקס). בצורה זו $\xi \equiv 6\pi \eta R$ , כאשר $\eta$ הוא מקדם הצמיגות של התווך הנוזלי, ו-$R$ הוא רדיוס הכדורי של החלקיק.

החלק האקראי של המשוואה הוא $R(t)$, המייצג את ההתנגשות האקראית של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני. לחלק זה המאפיינים נובעים מהשיקולים הפיזיקליים הבאים:

• $R(t)$ אינו תלוי במפורש ב-$dx(t) \over dt$ .
• $R(t)$ משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה מ $dx(t) \over dt$ .
• מכיוון שהתנגשות חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני היא אקראית ואיזוטרופית למרחב, ערך הממוצע של פונקציה זו על אנסמבל של חלקיקים שווה לאפס. $<R(t)>=0$
• מכיוון ש-$R(t)$ משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה בהשוואה למיקום, ניתן להניח שכל התנגשות היא מיידית. שינוי מהיר זה ניתן לבטא כ: $<R_{i}(t)R_{j}(t')>=2\xi \delta _{ij}\delta (t-t')k_{B}T$

כאשר $\delta (t-t')$ היא הדלתא של דיראק, ו- $\delta _{ij}$ היא הדלתא של קרוניקר. שיקול זה נובע מהקירוב עבור הבדלי סדרי הגודל של פרק הזמן של פונקציה R(t) ל- $dx(t) \over dt$ ואף להעתק, והופך למדויק רק עבור טווחי זמן גדולים- המתארים תנועה עבור חלקיקים בראונים "מקרוסקופיים" (כאשר מסת החלקיק גדולה משמעותית ממסת חלקיקי הנוזל). הסתכלות דיפרנציאלית על קשר הקורלציה אינו נכון לחלוטין, שכן גם מהירות החלקיק אינה מוגדרת היטב בגבול זה. בטיפול במשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות כגון משוואת לנז'בן, נהוג לקחת אינטגרל כך ש-

$m{dx \over dt}=\int _{}^{t}-{\xi {dx \over dt}-{dU \over dx}+R(t)}$

• ההסתברות למציאת ערך $R(t)$ כלשהו, מתפלגת התפלגות גאוסיאנית, כך ש-

$P(R_{1},R_{2},...,R_{n})={1 \over {\sqrt {2\pi <R^{2}>}}}\exp {-\sum _{i}^{n}R_{i}^{2} \over 2<R^{2}>}$

כאשר בגבול הרצף

$\sim {1 \over {\sqrt {2\pi <R^{2}>}}}\exp {-\int _{t_{1}}^{t_{n}}R(t)^{2}dt \over 2\pi <R^{2}>\Delta t}$

כאשר $\Delta t=t_{j+1}-t_{j}$.

החלק האקראי של המשוואה נקרא לעיתים כוח לנז'בן, ועבור חלקיק בראוני, חלק זה מראה כיצד שינויים בטמפרטורה מכתיבים את אופייה הסטוכסטי של התנועה הבראונית.

לדוגמה, נסתכל פתרון של משוואת לנז'בן עבור חלקיק בראוני. אם נכפיל את שני צידי המשוואה ב-$x(t)$:

$m{dx^{2} \over dt^{2}}x(t)=-\xi {dx \over dt}x(t)+R(t)x(t)$

כאשר :

$x(t){d^{2}x(t) \over dt^{2}}={1 \over 2}{d \over dt}({dx(t)^{2} \over dt})-{dx(t)^{2} \over dt}$ ו- $x(t){dx(t) \over dt}={1 \over 2}{d \over dt}({dx(t)^{2} \over dt})$

בהצבה במשוואה, ולקיחת ערך ממוצע עבור אנסמבל חלקיקים, נקבל:

${1 \over 2}m{d \over dt}<{dx(t)^{2} \over dt}>-m<{dx(t)^{2} \over dt}>=-{\xi \over 2}<{dx(t)^{2} \over dt}>+<R(t)x(t)>$

מכיוון שעבור החלק האקראי ערך ממוצע של אנסמבל חלקיקים מתאפס, חלק זה של המשוואה נופל. מחוק החלוקה השווה אנו יודעים $m<{dx(t) \over dt}^{2}>=k_{B}T$.

נסמן $<{dx(t)^{2} \over dt}>=z$,

ונקבל: ${m \over 2}<{dz \over dt}>+{\xi \over 2}z=k_{B}T$

עבור פרקי זמן גדולים מ $m \over \xi$, הפתרון $<{dx(t)^{2} \over dt}>$ מתפתח ליניארית בזמן. כלומר:

$<x(t)^{2}>-<x(0)^{2}>\approx {2k_{B}T \over \xi }t\longrightarrow 2Dt$

ובכך, הצטמצמנו למקרה הפרטי של פתרון איינשטיין לתנועה בראונית, ושהעתק החלקיק מתכונתי לשורש הטמפרטורה.

אפיון כללי של גישת לנז'בן

ניתן לתת למשוואות לנז'בן פורמליזם כללי יותר. בהנחה וישנה מערכת שהתנהגותה המקרוסקופית ידועה, וניתן לראות כי חייב להתקיים בה תנודות מסוימות. בשביל תיאור מלא של התנודות הללו יש לבצע את שלושת הצעדים הבאים:

צעד ראשון: יש לרשום את משוואות התנועה המקרוסקופיות של המערכת.

צעד שני: יש להוסיף כוח לנז'בן, המקיים את התכונות הבאות (חלקן אופיינו מוקדם יותר בפיתוח המקרה של תנועה בראונית):

1. במשוואת הכוחות ישנו גורם דטרמיניסטי, ליניארי עם מקדם ריסון, וגורם אקראי סטוכסטי ($R(t)$) . הגורם הסטוכסטי הוא אי-רגולרי, אך תכונותיו הממוצעות כאנסמבל חלקיקים פשוטות, בצורה שאפשר להניח: שהמרחקים בין החלקיקים המרכיבים אותו הוא גדול כך שאין אינטראקציה ביניהם או שהמדידות שנלקחות הם בפרקי זמן גדולים מספיק ביניהן.
2. התכונות הסטוכסטיות של $R(t)$ ניתנות ללא קשר למהירות החלקיק, כך שהוא מתפקד ככוח חיצוני. בצורה זו, הממוצע שלו מתאפס $<{\displaystyle R(t)}>=0$
3. הכוח הסטוכסטי מתבטא עקב שינויים מהירים מאוד בפרקי הזמן הנתונים, ולכן ניתן להתייחס לפונקציית הקורלציה שלו: $<R(t)R(t')>\Gamma \delta (t-t')$ . בתצורה זו $\Gamma$ הוא קבוע. באופן מעשי, פונקציית הדלתא צריכה להיות פונקציה של $|t-t'|$ עם רוחב המתאים לזמן של התנגשות/ שינוי יחיד. ניתן להתייחס לפונקציה זו כפונקציה זו כל פעולה זו קצרה משמעותית בכמה סדרי גודל מכל שאר סדרי הגודל הזמניים בבעיה.
4. $R(t)$ היא פונקציה עם התפלגות גאוסיאנית, כך שהמומנטים החיוביים שלה מקיימים: $<R(t_{1})R(t_{2})><R(t_{3})R(t_{4})>+...=\Gamma ^{2}[\delta (t_{1}-t_{2})\delta (t_{3}-t_{4})+\delta (t_{1}-t_{3})\delta (t_{2}-t_{4})+\delta (t_{1}-t_{4})\delta (t_{2}-t_{3})]$ באופן זה, R(t) מאופיינת כרעש לבן גאוסיאני.

צעד שלישי: יש לדרוש שהקבוע מתאים כך שהפתרון עבור תהליך סטוכסטי סטציונרי, ונותן בחזרה את ערכי ממוצע של התנודות כפי שהן ידועות ממכניקה סטטיסטית (או משיקולים פיזיקליים נוספים).

שלושת צעדים אלו מרכיבים את גישת לנז'בין, בה משתמשים בתחומים רבים בפיזיקה, כימיה וביולוגיה. התנודות אינן בהכרח צריכות לנבוע מתנודות תרמיות או מטבעם הדיסקרטי של חלקיקים. התנודות הסטוכסטיות יכולות לנבוע ממידול אות אקראי הנכנס לקו תמסורת, גדילה של מין ביולוגי תחת השפעת מזג אוויר, עומס אקראי על גשרים וכו'.

דוגמאות

משוואת לנז'בן עבור פוטנציאל הרמוני

עבור חלקיק בעל מסה $m$ בממד אחד, הנע תחת פוטנציאל הרמוני ($U(x)={kx^{2} \over 2}$) משוואות לנז'בן הם:

${dx(t) \over dt}=v$

${dv \over dt}=-{\xi \over m}v-\omega _{0}^{2}x+{1 \over m}R(t)$

כאשר $\omega _{0}^{2}={k \over m}$ . הכוח האקראי הוא תהליך אקראי גאוסיאני, עבורו:

$<{\displaystyle R(t)}>=0$

$<R(t_{1})R(t_{2})>=2\xi k_{B}T\delta (t_{1}-t_{2})$

בהסתכלות על צפיפות ספקטרום התדרים בהתמרת פורייה, נקבל:

$S_{R}(\omega )=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dte^{i\omega t}<R(t)R(0)>=2\xi k_{B}T$

המאופיין כרעש לבן. אם נבצע את התמרת פורייה על משוואות לנז'בין ולא רק על קשר הקורולציה שלנו:

$-{i\omega x(\omega )}=v(\omega )$

$-{i\omega v(\omega )}=-{\xi \over m}v(\omega )-\omega _{0}^{2}x(\omega )+{1 \over m}R(\omega )$

מכן ניתן לפתור עבור $x(\omega )$ :

$x(\omega )={1 \over m}{R(\omega ) \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-{\xi \over m}i\omega }$

צפיפות ספקטרום התדרים היא פרופורציונלית ל- $|x(\omega )^{2}|$ ולכן :

$S_{x}(\omega )={1 \over m^{2}}{S_{R}(\omega ) \over {|\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-{\xi \over m}i\omega }|^{2}}={2\xi k_{B}T \over m^{2}[(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+({\xi \over m}\omega )^{2}]}$

בהתמרה חזרה למרחב הזמן נקבל:

$C_{x}(t)={1 \over 2\pi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\omega e^{-i\omega t}S_{x}(\omega )={2\xi k_{B}T \over 2\pi m^{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\omega e^{-i\omega t}{1 \over [(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+({\xi \over m}\omega )^{2}]}$

אינטגרל זה ניתן לפתור במישור המרוכב, תוך שימוש במשפט השאריות. תוצאתו הסופית תהיה:

$C_{x}(t)={k_{B}T \over m\omega _{0}^{2}}e^{-{\xi \over 2m}t}[cos({\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\xi ^{2} \over 4m^{2}}}}t)+{\xi \over 2m{\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\xi ^{2} \over 4m^{2}}}}}sin({\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\xi ^{2} \over 4m^{2}}}}t)]$

נשים לב שעבור $t=0$, נקבל חזרה את חוק החלוקה השווה - ${1 \over 2}m\omega _{0}^{2}<x_{0}^{2}>={1 \over 2}k_{B}T$ .

תנודות במעגל חשמלי RC

אם נסתכל על מעגל חשמלי RC עם התנגדות ליניארית $R$. המטען $Q$ על קבל (באופן מאקרוסקופי) חווה ריסון עקב ההתנגדות, אליו נוסיף חלק אקראי של רעש $L(t)$.

${dQ \over dt}=-{Q \over RC}+L(t)$

בשיווי משקל תרמי, האנרגיה האלקטרוסטטית הפוטנציאלית ידועה, כמו כן מחוק החלוקה השווה נקבל:

${<Q^{2}> \over 2C}={k_{B}T \over 2}$

הטמפרטורה $T$ היא של המעגל כולו, אך ניתן להניח שזוהי הטמפרטורה של הנגד בלבד, שכן רק שם מיוצר הרעש התרמי. אם כן, אפשר להסתכל על הנגד כמקור לתנודות בזרם $\Delta I$ המתווספות לזרם המקרוסקופי הכולל. ניתן לראות כי $\Delta I=-L(t)$ ושקבוע $\Gamma$ צריך להיות שווה ל- ${2k_{B}T \over R}$.ולכן נוכל לראות את הקשר:

$<\Delta I(t)\Delta I(t')>={2k_{B}T \over R}\delta (t-t')$

באופן דומה ניתן לבצע עבור המתח כך ש-$\Delta V=-RL(t)$ משם ניתן לראות:

$<\Delta V(t)\Delta V(t')>={2k_{B}TR}\delta (t-t')$

ואנחנו מקבלים באופן מיידי רעש ג'ונסון-נייקוויסט.

הקשר לאינטגרלי איטו וסטרטונוביץ'

כפי שהוזכר, קשר הקורלציה עבור $R(t)$ הוא פרופורציונלי לפונקציית דלתא של דיראק, אך אינו בהכרח פונקציית דלתא, אלא פונקציה בעלת עליה חדה עם רוחב המתאים לפרק זמן קצר ביותר ($\tau _{c}\rightarrow 0$) . באופן כללי יותר, $R(t)$ היא פונקציה סטוכסטית מוגדרת היטב, כך שנוכל להגדיר את משוואת לנז'בן גם בצורה לא ליניארית. כל עוד $R(t)$ אינה סינגולרית- ניתן לקחת את הגבול ללא בעיה. כאשר פונקציית הדלתא בקשר הקורלציה, אשר מפורשת עבור קפיצה קטנה אך לא אינסופית, ניתן להשתמש באינטגרלי סטרטונוביץ'. עבור שימוש באינטגרלי איטו, יש לדרוש מפורשות שפרק זמן זה הוא אפס. (למידע נוסף ראה הלמה של איטו).

יתרונות

ישנם יתרונות לשימוש בגישת לנז'בן על פני שיטות דומות, כגון משוואת פוקר-פלאנק:

1. באופן כללי, קל יותר להבין באופן אינטואיטיבי את שיטה זו, שכן היא מבוססת על התפתחות בזמן של משתנה אקראי- במקום התפתחות בזמן של פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה כלשהו.
2. לפעמים יש קושי מסוים בהפרדת משתנים במשוואות כגון משוואת פוקר-פלאנק, ויש צורך בהרחבה עם פונקציות אורתוגונליות המהוות פתרון (למשל פולינומי פורייה -הרמיט)

ראו גם

• משוואת מסטר
• משוואת פוקר-פלאנק
• תהליך ווינר
• תהליך סטוכסטי

ביבליוגרפיה

• The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Third edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 27.
• van Kampen, Stochastoc Processes in Physics and Chemistry
• Progress of Theoretical Physics Supplement, Volume 130, January 1998, Pages 17–27,https://doi.org/10.1143/PTPS.130.17
• ; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997),
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation