מעגל RC

מעגל RC (מגיע מ-Resistor–Capacitor circuit) הוא מעגל חשמלי המורכב מנגד וקבל שאליהם ניתן לחבר גם מקור מתח ישר או חילופין. המעגל מהווה את הדוגמה הפשוטה ביותר למסנן תדרים אנלוגי.

מעגל RC טורי

מעגל RC טורי עם מקור מתח חילופין

מעגל RC טורי הוא מעגל המכיל קבל ונגד שמחוברים בטור למקור מתח $\ V(t)$. זהו החיבור הנפוץ ביותר של מעגל זה.

בהנחה שהרכיבים הם ליניאריים, הם מקיימים את המשוואות הבאות:

• חוק אוהם: $\ V_{R}(t)=R\cdot I(t)$

כאשר: $\ V_{R}(t)$ - המתח על הנגד, $\ R$ - התנגדות הנגד, ו-$\ I(t)$ - הזרם העובר בנגד, שהוא אותו הזרם העובר בכל המעגל.

• קיבול: $\ Q(t)=C\cdot V_{C}(t)$

כאשר $\ Q(t)$ - המטען הצבור בקבל, $\ C$ - הקיבול של הקבל, ו-$\ V_{C}(t)$ - המתח על הקבל.

בנוסף, המטען הצבור בקבל מקיים: ${\dot {Q}}(t)=I(t)$, (כאשר הנקודה מסמלת גזירה בזמן).

מחוק המתחים של קירכהוף נובע שבכל רגע בזמן סכום המתחים על הנגד ועל הקבל שווה למתח המקור: $\ V_{R}(t)+V_{C}(t)=V(t)$.

פריקת קבל

במקרה שבו לא מחובר מקור מתח, לאחר שימוש בזהויות הקודמות מתקבלת המשוואה המתארת את המתח על הקבל:

${\dot {V}}_{C}(t)+{\frac {1}{RC}}V_{C}(t)=0$

משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, והפתרון שלה הוא:

$V_{C}(t)=V_{C0}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

כאשר V_C0 המתח ברגע t=0. זוהי דעיכה אקספוננציאלית של המתח בזמן, וזמן הדעיכה האופייני (הזמן שלוקח למתח לקטון פי e מערכו המקורי), הוא $\!\ \tau =RC$.

זוהי תגובת ההלם של המעגל, או התגובה לתנאי ההתחלה. כלומר, במעגל שבו מחובר קבל טעון לנגד, המתח על הקבל (שהוא גם המתח על הנגד) ידעך אקספוננציאלית.

טעינת קבל

המתח על הקבל בזמן טעינתו

המתח על הנגד בזמן טעינת הקבל

במקרה שבו בזמן t=0 מחובר קבל מפורק בטור לנגד ולמקור מתח קבוע V, המתחים על הקבל ועל הנגד הם:

$\,\!V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)$

$\,\!V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}$

זוהי תגובת המעגל למדרגה.

מצב סינוסי עמיד

אם מקור המתח מזרים במעגל זרם חילופין בתדירות $\omega$, במצב היציב המתחים על הקבל ועל הנגד גם הם יהיו סינוסים באותה תדירות אך בעלי משרעות שונות ובהפרשי מופע, שתלויים בתדירות המקור ומחושבים באמצעות פונקציות התמסורת.

היחס בין משרעת המתח על הקבל למשרעת מתח המקור: $G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}$

היחס בין משרעת המתח על הנגד למשרעת מתח המקור: $G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}$

בתדירויות נמוכות המתח על הקבל דומה לזה של מתח המקור והמתח על הנגד מונחת. ככל שתדירות המקור גדלה, המתח על הקבל מונחת והמתח על הנגד דומה לזה של המקור. כתוצאה מכך, מעגל RC מתאים לשמש הן כמסנן מעביר נמוכים והן כמסנן מעביר גבוהים.

הפרש המופע עבור הקבל: $\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)$

הפרש המופע עבור הנגד: $\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)$

מעגל RC מקבילי

מעגל RC בחיבור מקבילי

בחיבור קבל ונגד למקור מתח במקביל, כל המתחים במעגל שווים למתח של המקור V ולכן מעגל זה אינו מתאים לשמש כמסנן.

הזרם בקבל: $I_{C}=C{\frac {dV}{dt}}$

הזרם בנגד: $I_{R}={\frac {V}{R}}$

בחיבור קבל ונגד למקור זרם (I(t במקום למקור מתח, מתקבלות משוואות הדומות למעגל RC טורי עם מקור מתח.

אנלוגיה מכנית

ניתן לייצג מערכת מכנית על ידי מעגל חשמלי שקול המקיים את אותן המשוואות. המערכת המכנית השקולה למעגל RC המחובר במקביל למקור זרם היא גוף הנע בהשפעת כוח חיצוני וחיכוך ליניארי (למשל חיכוך עם האוויר). במערכת כזו:

• $\!\ C$ - מסת הגוף
• $\!\ I_{C}$ - הכוח השקול הפועל על הגוף
• $\!\ V$ - מהירות הגוף
• ${\frac {1}{R}}$ - מקדם החיכוך הליניארי
• $\!\ I$ - הכוח החיצוני המופעל על הגוף

בדומה לפריקת קבל, בהפעלת כוח בצורת הלם (מכה קצרה) הגוף יקבל מהירות שתדעך אקספוננציאלית בגלל החיכוך עם האוויר, ובהפעלת כוח קבוע על גוף במנוחה מהירותו תגדל עד שתגיע למהירות סופית.

ראו גם

• מעגל RLC

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעגל RC בוויקישיתוף